Insieme delle potenze complesse
Sia $A={z^n:n\inNN}$ con z numero complesso fissato.
Determinare le condizioni necessarie e sufficienti affinchè:
- A sia interno (esterno) al cerchio unitario;
- A sia finito;
- A ammetta un'infinità di elementi tra loro allineati.
Secondo me A è interno (esterno) al cerchio unitario se e solo se z è minore (maggiore) di 1.
Inoltre penso che A sia finito se e solo se z=0 (in modo che tutte le sue potenze siano 0) o z=1 (in modo che tutte le potenze siano 1).
Sull'ultimo punto non saprei come partire, unica idea considerare z un numero reale (in modo che tutte le sue potenze siano reali e quindi allineate tra loro) diverso da 0 e da 1.
Cosa ne dite?
Determinare le condizioni necessarie e sufficienti affinchè:
- A sia interno (esterno) al cerchio unitario;
- A sia finito;
- A ammetta un'infinità di elementi tra loro allineati.
Secondo me A è interno (esterno) al cerchio unitario se e solo se z è minore (maggiore) di 1.
Inoltre penso che A sia finito se e solo se z=0 (in modo che tutte le sue potenze siano 0) o z=1 (in modo che tutte le potenze siano 1).
Sull'ultimo punto non saprei come partire, unica idea considerare z un numero reale (in modo che tutte le sue potenze siano reali e quindi allineate tra loro) diverso da 0 e da 1.
Cosa ne dite?
Risposte
primo punto:
http://www.thewolfweb.com/message_topic ... pic=572160
secondo punto:
come la mettiamo con $e^{i \pi /2}$ ?
http://www.thewolfweb.com/message_topic ... pic=572160
secondo punto:
come la mettiamo con $e^{i \pi /2}$ ?
Per risolvere i punti 2 e 3 ti conviene tener presente che vuol dire, geometricamente, fare la moltiplicazione tra due numeri complessi. Il resto viene da sé.
Quindi il primo punto è corretto?
Ho pensato alla relazione $z^n=|z|^n(cos(arg(nz))+isin(arg(nz)))$
Per quanto riguarda il punto 2, sono tutti i numeri di norma 1, parte reale razionale e parte frazionaria razionale?
Per il punto 3 io riconfermerei un numero reale diverso da 0 e 1...
Ho pensato alla relazione $z^n=|z|^n(cos(arg(nz))+isin(arg(nz)))$
Per quanto riguarda il punto 2, sono tutti i numeri di norma 1, parte reale razionale e parte frazionaria razionale?
Per il punto 3 io riconfermerei un numero reale diverso da 0 e 1...
"Thomas":[OT]Ahem...Che significa i<3 ? [/ot]
primo punto:
http://www.thewolfweb.com/message_topic ... pic=572160
[OT]
<3 è un cuore, quindi "i <3 u"= I love you.
[/OT]
<3 è un cuore, quindi "i <3 u"= I love you.
[/OT]
[OT]Ah ecco! Ho capito!!! Curioso, io avrei reagito esattamente come il tizio. 
[/OT]
[/OT]
"thedarkhero":
Per quanto riguarda il punto 2, sono tutti i numeri di norma 1, parte reale razionale e parte immaginaria razionale?
Per il modulo ok (infatti non appena $|z|<1$ o $|z|>1$, il modulo di $z^n$ schizza a $0$ o a $+oo$ al crescere di $n$).
Per il resto non ci siamo ancora.
Non c'entrano tanto $"Re" z$ ed $"Im"z$, quanto $"Arg"z$... Te l'ho detto: pensa a cosa significa geometricamente moltiplicare un numero complesso per un numero di norma unitaria.
"thedarkhero":
Per il punto 3 io riconfermerei un numero reale diverso da 0 e 1...
Ok, a patto di specificare che gli infiniti elementi devono essere distinti.
@dissonance: Ma LOL!
uffa gugo82... se spieghi le battute non c'è gusto!.... nemmeno io l'avevo colta immediatamente ma dopo un po' l'ho capita e mi è piaciuta tantissimo !!!!!!!
cmq io un po' mi scandalizzo di fronte alla scrittura z<1....
cmq io un po' mi scandalizzo di fronte alla scrittura z<1....
"Thomas":
cmq io un po' mi scandalizzo di fronte alla scrittura $z<1$...
L'avevo capito.
Ma ho pensato che thedarkhero avesse semplicemente commesso un errore di battitura, non di concetto.
Chiedo scusa, chiaramente mi riferivo alla norma di z, non a z.
Per il punto 2 ho pensato che sfruttando la formula di De Moivre ho che il prodotto di due complessi ha come argomento la somma degli argomenti.
Quindi se l'argomento era $alphappi$ con $alpha$ razionale allora esisteva un certo n (diverso da 1) tale che $nalphap=alphap$modulo$2pi$.
Non capisco dove sbaglio...
Per il punto 2 ho pensato che sfruttando la formula di De Moivre ho che il prodotto di due complessi ha come argomento la somma degli argomenti.
Quindi se l'argomento era $alphappi$ con $alpha$ razionale allora esisteva un certo n (diverso da 1) tale che $nalphap=alphap$modulo$2pi$.
Non capisco dove sbaglio...
non capisco cosa è $p$...
l'idea penso tu l'abbia capita, ovvero che se z^n è finita per qualche n dovrai (condizione necessaria) avere ruotato il tuo numero complesso di un numero intero di $2\pi$....
a questo punto devi solo fare bene i calcoli... le conclusioni che hai trovato precedentemente sulle parti reali ed immaginarie sono errate... (ovviamente $e^{i\frac{\pi}{4}}$ non ha nè parte reale nè parte immaginaria razionale)
l'idea penso tu l'abbia capita, ovvero che se z^n è finita per qualche n dovrai (condizione necessaria) avere ruotato il tuo numero complesso di un numero intero di $2\pi$....
a questo punto devi solo fare bene i calcoli... le conclusioni che hai trovato precedentemente sulle parti reali ed immaginarie sono errate... (ovviamente $e^{i\frac{\pi}{4}}$ non ha nè parte reale nè parte immaginaria razionale)
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