Insieme definizione soluzione eq differenziale
Ciao forum,
chiedo il vostro aiuto per controllare il procedimento per determinare l'intervallo più ampio di soluzione in cui la soluzione del seguente PC è definita:
$ { y' = (x-3)(y^2-1), y(6) = 3} $
ora, supponendo $ y != +-1 $ è possibile riscrivere la prima equazione del sistema come:
$ int_(3)^(y) dy/(y^2-1) = int_(6)^(x) (x-3) dx $
per il quale risulta:
$ 1/2ln|(1+y)/(1-y)| - 1/2ln2 = x^2/2 -3x $
dopo un po' di conti si arriva a scrivere:
$ y = (2e^(x^2-6x))/(1-2e^(x^2-6x) $
Giunti qua è ora di dare un'occhiata alle condizioni imposte durante i conti, ovvero $ y != +- 1 $:
per $y != -1$, si nota che, dovendo essere:
$ (2e^(x^2-6x))/(1-2e^(x^2-6x)) != -1 $
dovrebbe risultare vera:
$ e^(x^2-6x) = -1/4 $
dunque questa condizione non ci crea problemi.
Passando a $ y != 1 $, non si deve verificare il caso in cui:
$ e^(x^2-6x) = 1/4 $
la cui equazione si risolve per $ x = 3 +- sqrt(9 -ln4) $.
Chiariti questi dettagli, si passa a studiare il denominatore, il quale richiede la condizione:
$ e^(x^2-6x) != 1/2 $
al fine di determinare in che intervallo locale è possibile definire la soluzione.
Questa equazione porta a escludere i valori di $ x $ pari a $ x = 3 +- sqrt(9 - ln2) $ .
Queste considerazioni portano a visualizzare un grafico del tipo:
da cui si dovrebbe dedurre che l'intervallo (massimale?) più ampio in cui la soluzione è definita è esattamente:
$ x in ( 3 - sqrt(9 - ln2) , 3 + sqrt(9 -ln4) ) $
Cosa ne pensate?
Ringrazio in anticipo!
chiedo il vostro aiuto per controllare il procedimento per determinare l'intervallo più ampio di soluzione in cui la soluzione del seguente PC è definita:
$ { y' = (x-3)(y^2-1), y(6) = 3} $
ora, supponendo $ y != +-1 $ è possibile riscrivere la prima equazione del sistema come:
$ int_(3)^(y) dy/(y^2-1) = int_(6)^(x) (x-3) dx $
per il quale risulta:
$ 1/2ln|(1+y)/(1-y)| - 1/2ln2 = x^2/2 -3x $
dopo un po' di conti si arriva a scrivere:
$ y = (2e^(x^2-6x))/(1-2e^(x^2-6x) $
Giunti qua è ora di dare un'occhiata alle condizioni imposte durante i conti, ovvero $ y != +- 1 $:
per $y != -1$, si nota che, dovendo essere:
$ (2e^(x^2-6x))/(1-2e^(x^2-6x)) != -1 $
dovrebbe risultare vera:
$ e^(x^2-6x) = -1/4 $
dunque questa condizione non ci crea problemi.
Passando a $ y != 1 $, non si deve verificare il caso in cui:
$ e^(x^2-6x) = 1/4 $
la cui equazione si risolve per $ x = 3 +- sqrt(9 -ln4) $.
Chiariti questi dettagli, si passa a studiare il denominatore, il quale richiede la condizione:
$ e^(x^2-6x) != 1/2 $
al fine di determinare in che intervallo locale è possibile definire la soluzione.
Questa equazione porta a escludere i valori di $ x $ pari a $ x = 3 +- sqrt(9 - ln2) $ .
Queste considerazioni portano a visualizzare un grafico del tipo:
da cui si dovrebbe dedurre che l'intervallo (massimale?) più ampio in cui la soluzione è definita è esattamente:
$ x in ( 3 - sqrt(9 - ln2) , 3 + sqrt(9 -ln4) ) $
Cosa ne pensate?
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Mi sembra fatto bene.
Se non ho sbagliato i conti viene che $x in( 0.117 , 5.759)$ che però esclude il punto $x=6 $ dato del problema. 
Ciao a tutti,
Proverei con $ y(x) = frac{2e^{6x - x^2} + 1}{2e^{6x - x^2} - 1} $
Proverei con $ y(x) = frac{2e^{6x - x^2} + 1}{2e^{6x - x^2} - 1} $
Vedo anche un errore qui:
$int_(3)^(y) dt/(t^2-1) = 1/2 [ln|1 - t| - ln|1 + t|]_3^y = 1/2 [ln|frac{1 - y}{1 + y}| - ln 2 + ln 4] = 1/2 [ln|frac{1 - y}{1 + y}| - ln 2 + 2 ln 2] = 1/2 ln|frac{1 - y}{1 + y}| + 1/2 ln 2 $
$int_(3)^(y) dt/(t^2-1) = 1/2 [ln|1 - t| - ln|1 + t|]_3^y = 1/2 [ln|frac{1 - y}{1 + y}| - ln 2 + ln 4] = 1/2 [ln|frac{1 - y}{1 + y}| - ln 2 + 2 ln 2] = 1/2 ln|frac{1 - y}{1 + y}| + 1/2 ln 2 $
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