Insieme convesso
Dimostrare che l'insieme $y<=x$ in $RR^2$ è convesso?...grazie
Risposte
Basta usare la definizione.
Comincia col provare che, fissati $A$ una matrice $m\times n$ ed un vettore $b\in RR^m$, l'insieme $\{ x\in RR^n: A*x<=b\}$* è convesso in $RR^n$ (questo si può fare agevolmente applicando la definizione).
La convessità di $y<=x$ in $RR^2$ segue come caso particolare.
__________
* Nota bene: quando si scrive $\xi <=\eta$ con $\xi=(\xi_1,\ldots ,\xi_n),\eta=(\eta_1,\ldots ,\eta_n) \in RR^n$ si intende che ogni coordinata di $\xi$ è $<=$ della corrispondente coordinata di $\eta$: insomma $(\xi<=\eta) \Leftrightarrow (AAi \in\{ 1,\ldots ,n\}, \xi_i<=\eta_i)$.
La convessità di $y<=x$ in $RR^2$ segue come caso particolare.
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* Nota bene: quando si scrive $\xi <=\eta$ con $\xi=(\xi_1,\ldots ,\xi_n),\eta=(\eta_1,\ldots ,\eta_n) \in RR^n$ si intende che ogni coordinata di $\xi$ è $<=$ della corrispondente coordinata di $\eta$: insomma $(\xi<=\eta) \Leftrightarrow (AAi \in\{ 1,\ldots ,n\}, \xi_i<=\eta_i)$.
Il suggerimento di Luca Lussardi mi sembra più umano...
"Fioravante Patrone":
Il suggerimento di Luca Lussardi mi sembra più umano...
"Fioravante Patrone":
Il suggerimento di Luca Lussardi mi sembra più umano...
Anche a me...
A 'sto punto...
Prendo $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ che stanno nell'insieme.
Ovvero:
$y_1 \le x_1$
e
$y_2 \le x_2$
Moltiplico la prima "membro a membro" per $\lambda$ e la seconda, sempre "membro a membro", per $1 - \lambda$ e ottengo:
$\lambda y_1 \le \lambda x_1$
e
$(1 - \lambda ) y_2 \le (1 - \lambda ) x_2$
Si somma membro a membro, et voilà.
Prendo $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ che stanno nell'insieme.
Ovvero:
$y_1 \le x_1$
e
$y_2 \le x_2$
Moltiplico la prima "membro a membro" per $\lambda$ e la seconda, sempre "membro a membro", per $1 - \lambda$ e ottengo:
$\lambda y_1 \le \lambda x_1$
e
$(1 - \lambda ) y_2 \le (1 - \lambda ) x_2$
Si somma membro a membro, et voilà.
"Gugo82":
Comincia col provare che, fissati $A$ una matrice $m\times n$ ed un vettore $b\in RR^m$, l'insieme $\{ x\in RR^n: A*x<=b\}$* è convesso in $RR^n$ (questo si può fare agevolmente applicando la definizione).
La convessità di $y<=x$ in $RR^2$ segue come caso particolare.
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* Nota bene: quando si scrive $\xi <=\eta$ con $\xi=(\xi_1,\ldots ,\xi_n),\eta=(\eta_1,\ldots ,\eta_n) \in RR^n$ si intende che ogni coordinata di $\xi$ è $<=$ della corrispondente coordinata di $\eta$: insomma $(\xi<=\eta) \Leftrightarrow (AAi \in\{ 1,\ldots ,n\}, \xi_i<=\eta_i)$.
Vabbè FP, mica questa cosetta di poco più generale è tanto difficile...
Insomma, fissati $x_1,x_2\in P:=\{ x\in RR^n: A*x<=b\}$ e $\lambda \in [0,1]$ si ha $A*[(1-lambda)x_1+lambdax_2]=(1-lambda)A*x_1+lambdaA*x_2<=(1-lambda)b+lambdab=b$, cosicché $P$ è convesso.
Per ricavare il caso dell'esercizio basta considerare $A=(-1,1)$ e $b=0$.
"Fioravante Patrone":
Il suggerimento di Luca Lussardi mi sembra più umano...
Oh, com'è umano lei! (Giandomenico Fracchia)
Se avessi questo altro esercizio...cosa devo fare??...potreste postare il procedimento intero?
Non ho capito niente...
Dimostrare ke A=[-1<=x<=1,x^2<=y<=1] è convesso
Non ho capito niente...
Dimostrare ke A=[-1<=x<=1,x^2<=y<=1] è convesso
Dove è la difficoltà nel riprodurre il semplice ragionamento che ho usato io, che non usa alto che la definizione?
Ci hai provato? Come hai cominciato?
Ci hai provato? Come hai cominciato?
In pratica io prendo 2 punti dell'insieme A...nel caso dell'esercizio di prima abbiamo ke $\lambda y_1+(1-\lambda)y_2<= \lambda x_1+(1-\lambda)x_2$...da cui ottengo ke $y<=x$...giusto??
Nel secondo cas l'insieme è un po particolare...come faccio a utilizzare lo stesso procedimento se l'insieme è diverso?
Nel secondo cas l'insieme è un po particolare...come faccio a utilizzare lo stesso procedimento se l'insieme è diverso?
"ninja986":
In pratica io prendo 2 punti dell'insieme A...nel caso dell'esercizio di prima abbiamo ke $\lambda y_1+(1-\lambda)y_2<= \lambda x_1+(1-\lambda)x_2$...da cui ottengo ke $y<=x$...giusto??
No (forse).
Tu ottieni che $\lambda y_1+(1-\lambda)y_2<= \lambda x_1+(1-\lambda)x_2$, come hai scritto sopra e quindi il punto di coordinate $(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2,\lambda y_1+(1-\lambda)y_2)$ appartiene all'insieme in quanto la seconda coordinata è minore o uguale della prima.
Probabilmente è quello che intendevi, ma meglio essere precisi.
L'esercizio nuovo è facile come l'altro. Provaci.
Ma soprattutto abbi la pazienza di scrivere tutti i passaggi. Così si vede cosa non va, se c'è qualcosa che non va, nel tuo ragionamento.
Il procedimento inizia sicuramente considerando 2 punti dell'insieme...e devo verificare che il segmento che unisce i 2 punti non esca dall'insieme...
cioè le coordinate dei 2 punti sono
$-1<= \lambda x_1+(1-\lambda)x_2 <=1$
$(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)^2<=\lambda y_1+(1-\lambda)y_2<=1$
giusto??...poi cosa faccio
cioè le coordinate dei 2 punti sono
$-1<= \lambda x_1+(1-\lambda)x_2 <=1$
$(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)^2<=\lambda y_1+(1-\lambda)y_2<=1$
giusto??...poi cosa faccio
"ninja986":
Il procedimento inizia sicuramente considerando 2 punti dell'insieme...e devo verificare che il segmento che unisce i 2 punti non esca dall'insieme...
cioè le coordinate dei 2 punti sono
$-1<= \lambda x_1+(1-\lambda)x_2 <=1$
$(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)^2<=\lambda y_1+(1-\lambda)y_2<=1$
giusto??...poi cosa faccio
No, devi prendere due punti che stanno nell'insieme.
Quindi prendi $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ tali che:
$-1 <=x_1 <=1$ e $-1 <=x_2 <=1$;
$x_1^2 <= y_1 <= 1$ e $x_2^2 <= y_2 <= 1$.
Poi prendi $\lambda \in [0,1]$ e dimostri che anche il punto $\lambda (x_1,y_1) + (1-\lambda)(x_2,y_2)$, cioè $(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 , \lambda y_1 + (1-\lambda) y_2 )$ sta nell'insieme $A$, e cioè che...
e dimostro che $-1<=\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 <=1$ e $(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)^2<=\lambda y_1 + (1-\lambda) y_2<=1$ è contenuto nell'insieme A...
giusto??
giusto??
"ninja986":
e dimostro che $-1<=\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 <=1$ e $(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)^2<=\lambda y_1 + (1-\lambda) y_2<=1$ è contenuto nell'insieme A...
giusto??
No.
Dimostri che:
$-1<=\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 <=1$
e che:
$(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)^2<=\lambda y_1 + (1-\lambda) y_2<=1$
Da qui deduci che:
$(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 , \lambda y_1 + (1-\lambda) y_2 )$ sta nell'insieme $A$, per come è definito l'insieme $A$.
Non serve tagliare le curve, si va a sbattere.
ok...ora ho capito...posso chiederti un favore??
per quali valori di $\lambda >0$ esistono i limiti??
$lim_{(x,y) to (0,0)} (|x|^\lambda y^2)/(x^2+y^2)$
$lim_{(x,y) to (0,0)} (|x|^\lambda y^2)/(x^2+y^4)$
per quali valori di $\lambda >0$ esistono i limiti??
$lim_{(x,y) to (0,0)} (|x|^\lambda y^2)/(x^2+y^2)$
$lim_{(x,y) to (0,0)} (|x|^\lambda y^2)/(x^2+y^4)$
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