Insieme convergenza serie di potenze con coefficienti asintotici

[kobeilprofeta]

Mi chiedo se le due serie $\sum a_n x^n$ e $\sum b_n x^n$ hanno lo stesso insieme di convergenza (non solo raggio, ma anche comportamento agli estremi) quando a_n è asintotico a b_n.

Un esempio è $\sum frac{n+3}{n^2+n} x^n$ io direi che l'insieme è $[-1,1)$, perchè è lo stesso di $\sum 1/n x^n$


grazie

[coffee2]

Il tuo esempio funziona, però se $b_n=\frac{(-)^n}{\sqrt{n}}$ e $a_n=b_n(1+b_n)=b_n+1/n$ allora $\sum_{n=1}^{+\infty}b_n x^n$ converge per $x=1$ ma $\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n$ no.

[kobeilprofeta]

Grazie


Ma quindi c'è una regola generale? Almeno il raggio è lo stesso?

[coffee2]

Il raggio dovrebbe essere lo stesso per il criterio di Cauchy-Hadamard perché $|a_n|^{1/n}=|b_n|^{1/n}\cdot |\frac{a_n}{b_n}|^{1/n}$; se hai $a_n$ asintotico a $b_n$ (o anche solo che ognuna delle due successioni è O grande dell'altra) allora $|\frac{a_n}{b_n}|^{1/n}$ tende a 1 per $n\to+\infty$ e quindi i limiti superiori di $|a_n|^{1/n}$ e $|b_n|^{1/n}$ coincidono. Non conosco però criteri sui coefficienti che garantiscano lo stesso carattere delle due serie sui punti del bordo del disco di convergenza

[kobeilprofeta]

grazie