Insieme connesso e connesso per archi
Buongiorno, avrei una domanda che mi affligge da tempo, ed essendo che a breve ho l'esame di Analisi 2 vorrei risolverlo al più presto.
Da quel che ho capito, un insieme (n-dimensionale) A aperto si dice connesso se:
\[\nexists A_1, A_2:\ A\subseteq{A_1}\cup A_2,\ A_1\cap{A_2}=\emptyset\]
Adesso, un insieme A aperto si dice connesso per archi se
\[\forall x,y\in A, \exists\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^n\ t.c.\ \gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y, \gamma(t)=A, \forall x,y\in A\]
Inoltre, se un insieme A aperto è un cpa, allora è anche connesso. Adesso, se A fosse chiuso, la sua "connessione" rimarrebbe? E se ho un unione di due insiemi, uno aperto e uno chiuso?
Il mio dubbio è nato da un esercizio:
In $\mathbb{R}^2$, l'unione delle palle \( \bar B_2(1,0)\cup B_2(-1,0),\) è un insieme: aperto, chiuso, compatto, connesso, connesso per archi.
Mi blocco già dal momento in cui questo insieme è sia aperto che chiuso; per definizione suppongo che le prime tre scelte sono da escludere, e credo sia un connesso, ma connesso per archi?
Spero di avere delle delucidazioni, e ringrazio in anticipo
Edit: Volevo dire "Mi blocco [...] non è né aperto né chiuso"
PS: È il mio primo post, spero di non aver infranto alcuna regola (le ho lette).
Da quel che ho capito, un insieme (n-dimensionale) A aperto si dice connesso se:
\[\nexists A_1, A_2:\ A\subseteq{A_1}\cup A_2,\ A_1\cap{A_2}=\emptyset\]
Adesso, un insieme A aperto si dice connesso per archi se
\[\forall x,y\in A, \exists\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^n\ t.c.\ \gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y, \gamma(t)=A, \forall x,y\in A\]
Inoltre, se un insieme A aperto è un cpa, allora è anche connesso. Adesso, se A fosse chiuso, la sua "connessione" rimarrebbe? E se ho un unione di due insiemi, uno aperto e uno chiuso?
Il mio dubbio è nato da un esercizio:
In $\mathbb{R}^2$, l'unione delle palle \( \bar B_2(1,0)\cup B_2(-1,0),\) è un insieme: aperto, chiuso, compatto, connesso, connesso per archi.
Mi blocco già dal momento in cui questo insieme è sia aperto che chiuso; per definizione suppongo che le prime tre scelte sono da escludere, e credo sia un connesso, ma connesso per archi?
Spero di avere delle delucidazioni, e ringrazio in anticipo
Edit: Volevo dire "Mi blocco [...] non è né aperto né chiuso"
PS: È il mio primo post, spero di non aver infranto alcuna regola (le ho lette).
Risposte
\(A_1,A_2\) devono essere aperti e non vuoti; se non chiedi queste due cose, ogni sottoinsieme di ogni spazio topologico è sconnesso. Ciò detto, la definizione di connesso si applica a qualsiasi sottoinsieme di uno spazio topologico, senza variazioni a parte considerare la (s)connessione di \(A\) rispetto alla topologia indotta. Infine, connesso per archi equivale a connesso e localmente connesso per archi; l'unione delle due palle che dici è dunque connessa per archi.
Ciò detto, la definizione di connesso si applica a qualsiasi sottoinsieme di uno spazio topologico, senza variazioni a parte considerare la (s)connessione di A rispetto alla topologia indotta.
Ok quindi, se non ho capito male, la condizione di apertura di un insieme è sufficiente ma non necessaria alla connessione (?)
Potresti farmi un esempio di connesso, ma non connesso per archi?
Una piccola osservazione aggiuntiva. La connessione di un sottospazio è relativa alla topologia indotta. Quindi gli aperti di quel sottospazio non sono necessariamente aperti nella topologia dello spazio.
Considera, per esempio, \(\overline{\mathbb{B}}_1(1,0)\cup \mathbb{B}_1(-3,0)\). Questo sottospazio è sconnesso, sai trovare le componenti connesse?
Se vuoi cercare esempi di spazi connessi ma non connessi per archi devi cercare insiemi più particolari.
Considera, per esempio, \(\overline{\mathbb{B}}_1(1,0)\cup \mathbb{B}_1(-3,0)\). Questo sottospazio è sconnesso, sai trovare le componenti connesse?
Se vuoi cercare esempi di spazi connessi ma non connessi per archi devi cercare insiemi più particolari.
"koralius":Ciò detto, la definizione di connesso si applica a qualsiasi sottoinsieme di uno spazio topologico, senza variazioni a parte considerare la (s)connessione di A rispetto alla topologia indotta.
Ok quindi, se non ho capito male, la condizione di apertura di un insieme è sufficiente ma non necessaria alla connessione (?)
Potresti farmi un esempio di connesso, ma non connesso per archi?
Wiki ne fornisce un esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_co ... onnessione
Considera, per esempio, \(\overline{\mathbb{B}}_1(1,0)\cup \mathbb{B}_1(-3,0)\). Questo sottospazio è sconnesso, sai trovare le componenti connesse?
In questo caso, saranno connesse le singole palle, ma non l'unione di esse. Poichè se così fosse, riuscirei a trovare una certa curva che riesca ad unire tutte le coppie di punti contenute nello spazio.
Una piccola osservazione aggiuntiva. La connessione di un sottospazio è relativa alla topologia indotta. Quindi gli aperti di quel sottospazio non sono necessariamente aperti nella topologia dello spazio.
Dall'insieme che avevo proposto precedentemente, per topologia indotta io dovrei avere un qualsiasi sottospazio che chiamerò $A$ di $\mathbb{R}^2$, anch'esso non aperto e non chiuso, tale che l'intersezione tra l'unione delle palle (che chiamerò $B$ per facilità) ed $A$ mi dia un sottoinsieme di $B$ nuovamente non aperto, non chiuso e connesso? O mi sto soltanto confondendo le idee?
Chiedo venia se vi sto rendendo la spiegazione difficile. Non vado matto per la topologia...
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