Insieme con misura di lebesgue epsilon
ciao ragazzi,
non riesco a trovare un insieme aperto contenuto in [0,1] che sia denso e abbia misura di lebesgue epsilon.
non riesco a trovare un insieme aperto contenuto in [0,1] che sia denso e abbia misura di lebesgue epsilon.
Risposte
Indica con $(r_n)_{n\geq 1}$ i razionali di $(0,1)$. Fissato $\epsilon>0$, sia $B_n = (r_n - \epsilon 2^{-n-1}, r_n + \epsilon 2^{-n-1})$.
L'insieme $A = \cup_n B_n$ (detto dei razionali cicci) è ovviamente denso in $[0,1]$. Prova a stimarne la misura.
L'insieme $A = \cup_n B_n$ (detto dei razionali cicci) è ovviamente denso in $[0,1]$. Prova a stimarne la misura.
"Rigel":
...detto dei razionali cicci....
E se sei loro amico puoi chiamarli "Ciccionali"!
D'altra parte chiamarli razionali ingrassati sembra brutto 
Ma questi ciccioni non possono avere problemi con le intersezioni? O ormai la ruggine mi ha completamente messo fuori uso?
Beh sì; l'insieme dato ha misura $<\epsilon$ (l'avevo dato per scontato, leggo ora che si voleva di misura $\epsilon$, anche se mi sembra strano).
C'è da dire che, detto $A_{\epsilon}\subset [0,1]$ l'insieme così costruito, la mappa $\epsilon \to |A_{\epsilon}|$ è monotona crescente e continua (la continuità andrebbe dimostrata); visto che tende a $0$ per $\epsilon \to 0$ mentre $|A_1| = 1$, si può fare in modo che abbia una qualsiasi prefissata misura fra $0$ e $1$.
C'è da dire che, detto $A_{\epsilon}\subset [0,1]$ l'insieme così costruito, la mappa $\epsilon \to |A_{\epsilon}|$ è monotona crescente e continua (la continuità andrebbe dimostrata); visto che tende a $0$ per $\epsilon \to 0$ mentre $|A_1| = 1$, si può fare in modo che abbia una qualsiasi prefissata misura fra $0$ e $1$.
Mi ci vorrebbero qualche dettagli riguardo alla continuità di questa mappa.
C'è un modo che consiste ad imitare la costruzione del insieme si Cantor, ma togliendo ad ogni tappa un intervallo di lunghezza $(1-\varepsilon)4^{-n}$. Si ottiene un insieme $K_{\varepsilon}$ chiuso che non contiene nessun' intervallo, e $K_{\varepsilon}$ è di misura $1-\varepsilon$. Dopo consideriamo $A_{\varepsilon}=[0,1]\setminus K_{\varepsilon}$, che è aperto e denso, di misura $\varepsilon$.
Si può anche costruire un aperto di misura $\varepsilon$ denso in $\mathbb R$, dunque gli insiemi densi per la topologia usuale possono essere di qualunque misura in $[0,+\infty]$.
C'è un modo che consiste ad imitare la costruzione del insieme si Cantor, ma togliendo ad ogni tappa un intervallo di lunghezza $(1-\varepsilon)4^{-n}$. Si ottiene un insieme $K_{\varepsilon}$ chiuso che non contiene nessun' intervallo, e $K_{\varepsilon}$ è di misura $1-\varepsilon$. Dopo consideriamo $A_{\varepsilon}=[0,1]\setminus K_{\varepsilon}$, che è aperto e denso, di misura $\varepsilon$.
Si può anche costruire un aperto di misura $\varepsilon$ denso in $\mathbb R$, dunque gli insiemi densi per la topologia usuale possono essere di qualunque misura in $[0,+\infty]$.
Per la continuità della mappa citata mi sembra sia sufficiente osservare che, se $0<\epsilon<\epsilon'$, allora
\( 0\leq |A_{\epsilon'}| - |A_{\epsilon}| \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2 \frac{\epsilon'-\epsilon}{2^{n+1}} = \epsilon' - \epsilon.\)
Poi è chiaro che si può fare come dici tu, usando insiemi cantoriani di misura prefissata, ma secondo me si tratta di una costruzione più complessa; diciamo che in genere la si capisce quando si comincia ad avere un po' di dimestichezza con questo tipo di "taglia-cuci".
(E' vero che anche i razionali cicci generano tipicamente un po' di perplessità quando li si incontra la prima volta...)
\( 0\leq |A_{\epsilon'}| - |A_{\epsilon}| \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2 \frac{\epsilon'-\epsilon}{2^{n+1}} = \epsilon' - \epsilon.\)
Poi è chiaro che si può fare come dici tu, usando insiemi cantoriani di misura prefissata, ma secondo me si tratta di una costruzione più complessa; diciamo che in genere la si capisce quando si comincia ad avere un po' di dimestichezza con questo tipo di "taglia-cuci".
(E' vero che anche i razionali cicci generano tipicamente un po' di perplessità quando li si incontra la prima volta...)
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