Insieme complesso

[alessioben]

Ciao,
l'esercizio chiede di determinare il Sup dell'insieme E così definito

$ E={abs(z) : z in C , (4z)/(1+z^2) in Z } $

Non so proprio da dove partire

[Quinzio]

[regolamento]1[/regolamento]Se quel numero complesso $4z/(1+z^2)$ deve essere un intero, bisogna che innanzitutto la sua parte immaginaria sia nulla.

Per vedere la sua parte immaginaria si esplicita quel numero con $z=a+ib$.
Tralascio il $4$ perche' non modifica la fase del numero complesso.

$z/(1+z^2) = (a+ib)/(1+a^2-b^2+2iab)$

Poi si moltiplica per il complesso coniugato del denominatore

$(a+ib)/(1+a^2-b^2+2iab) (1+a^2-b^2-2iab)/(1+a^2-b^2-2iab)$

e guardiamo solo la parte immaginaria al numeratore:

$b(1+a^2-b^2) - 2a^2b = b (1-a^2-b^2) = 0$

Quindi le soluzioni sono $a^2+b^2 = 1$ cioe' la $z$ sta su una circonferenza unitaria oppure il numero ha parte immaginaria nulla.
Se la $z$ sta sulla circonferenza unitaria allora $|z| =1$.
Resta da vedere se con l'altro caso si trovano dei moduli maggiori.

Allora risolviamo $4a/(1+a^2) = k$ cioe' $a^2 - 4/k a +1 = 0$

$2/k \pm \sqrt (4/k^2-1)$

Con $k =1$ si ha una radice a $a = 2+\sqrt3$
Con $k =2$ si ha una radice a $a = 1$

Quindi il modulo che vince (il Sup di $|z|$) sembra proprio $2+\sqrt3$

[alessioben]

Grazie mille per la spiegazione.
Non ho capito un passaggio. Perché per il secondo caso al posto di z scrivi a e lo eguagli a k?

Grazie

[Quinzio]

"alessioben":Grazie mille per la spiegazione.
Non ho capito un passaggio. Perché per il secondo caso al posto di z scrivi a e lo eguagli a k?

Grazie

Perche' il secondo caso e' $b = 0$ e quindi $z=a+ib$ diventa semplicemente $z = a$.