Insieme complesso
Salve ho qualche problema nel rappresentare l'insieme
$ A={z in mathbb(C), 1<=|1-1/z|<=sqrt2 } $
Grazie mille.
$ A={z in mathbb(C), 1<=|1-1/z|<=sqrt2 } $
Grazie mille.
Risposte
uhm... hai provato a sostituire $z = x+iy$?
potrebbe venire qualcosa di sensato.
potrebbe venire qualcosa di sensato.
Si ho provato con la forma cartesiana ma non riesco ad andare avanti o sbaglio qualcosa.
fai vedere fin dove arrivi
$ z=x+iy $
$ |1-(bar(z))/|z||=|(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)| $
$ { ( |(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)|<=sqrt(2) ),( |(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)|>=1):} $
$ -sqrt(2)<=(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)<=sqrt(2) $
$ { ( (x^2+y^2-x+iy-sqrt(2)x^2-sqrt(2)y^2)/(x^2+y^2)<=0),( (x^2+y^2-x+iy+sqrt(2)x^2+sqrt(2)y^2)/(x^2+y^2)>=0 ):} $
Poi non riesco ad andare avanti.
$ |1-(bar(z))/|z||=|(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)| $
$ { ( |(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)|<=sqrt(2) ),( |(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)|>=1):} $
$ -sqrt(2)<=(x^2+y^2-x+iy)/(x^2+y^2)<=sqrt(2) $
$ { ( (x^2+y^2-x+iy-sqrt(2)x^2-sqrt(2)y^2)/(x^2+y^2)<=0),( (x^2+y^2-x+iy+sqrt(2)x^2+sqrt(2)y^2)/(x^2+y^2)>=0 ):} $
Poi non riesco ad andare avanti.
attenzione che il "modulo" di un numero complesso è un'altra cosa...
$|z = x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$
$|z = x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$
Non c'è un metodo più semplice rispetto alla forma cartesiana?
vediamo se riesco ad aiutarti più concretamente:
sai che oltre alla forma cartesiana, i numeri complessi si possono scrivere anche in forma euleriana: $z = \rho e^{i \theta}$.
usiamo questa forma:
$|1-1/z|= |{z-1}/z|= |{\rho e^{i \theta} - 1}/{\rho e^{i \theta}}| = {|\rho e^{i \theta} - 1|}/{|\rho e^{i \theta}|} = {|\rho e^{i \theta} - 1|}/{\rho}$
l'ultimo passaggio è possibile perchè il modulo del numero $z = \rho e^{i \theta}$ è proprio $\rho$.
ora direi che può tornare utile tornare alla forma cartesiana $z = x+iy$:
${|\rho e^{i \theta} - 1|}/{\rho} = {|x+iy-1|}/{\sqrt{x^2+y^2}} = 1/{\sqrt{x^2+y^2}} \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$
vedi se riesci ad andare avanti da qui
sai che oltre alla forma cartesiana, i numeri complessi si possono scrivere anche in forma euleriana: $z = \rho e^{i \theta}$.
usiamo questa forma:
$|1-1/z|= |{z-1}/z|= |{\rho e^{i \theta} - 1}/{\rho e^{i \theta}}| = {|\rho e^{i \theta} - 1|}/{|\rho e^{i \theta}|} = {|\rho e^{i \theta} - 1|}/{\rho}$
l'ultimo passaggio è possibile perchè il modulo del numero $z = \rho e^{i \theta}$ è proprio $\rho$.
ora direi che può tornare utile tornare alla forma cartesiana $z = x+iy$:
${|\rho e^{i \theta} - 1|}/{\rho} = {|x+iy-1|}/{\sqrt{x^2+y^2}} = 1/{\sqrt{x^2+y^2}} \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$
vedi se riesci ad andare avanti da qui
Grazie mille
Arrivo ad avere una circonferenza
$ -x^2-y^2-2x+1<=0 $
Ed ad una retta
$ -2x+1>=0 $
Ma come faccio a rappresentarlo nel piano di gauss?
Arrivo ad avere una circonferenza
$ -x^2-y^2-2x+1<=0 $
Ed ad una retta
$ -2x+1>=0 $
Ma come faccio a rappresentarlo nel piano di gauss?
$CC$ è isomorfo ad $RR^2$...
questo comporta che se disegni le regioni che hai individuato sul piano cartesiano, è come se le stessi disegnando sul piano di gauss. son la "stessa cosa" in soldoni.
questo comporta che se disegni le regioni che hai individuato sul piano cartesiano, è come se le stessi disegnando sul piano di gauss. son la "stessa cosa" in soldoni.
Grazie mille.
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