[Insieme compatto][Spazio metrico]

[lucia88]

ciao a tutti,
allora scusate la domanda sciocca ma non riesco a capire come dimostrare che l'insieme $K=(0,1)$
nello spazio metrico (R,d) dotato della metrica euclidea non è compatto

Io so che per definizione,
dato uno spazio metrico (X,d) un suo sottoinsieme $E\subseteqX$ è compatto se
da ogni famiglia di aperti ${G_\alpha}$ tale che $E \subseteq UG_\alpha$ (copertura aperta)

è possibile estrarre una sottofamiglia finita di aperti ${G_1, ..., G_N}$tale che sia ancora:

$E\subseteq UG_\alpha$ per ogni $\alpha\subseteq[1,N]$ (sottocopertura aperta)


So che gli insiemi della famiglia devono essere aperti quindi devo scegliere un insieme $A$ tale che per ogni $x\inA$ $\exists r$ t.c. $B_r(x) \subseteq A$

Dunque mi basta trovare una copertura aperta da cui non è possibile estrarre una sottofamiglia finita di aperti... Ma quale??
ad esempio per N sul libro usa $(n-\epsilon,n+\epsilon)$ con $0<\epsilon<1$
se usassi una cosa del tipo $(-1/n,+1/n)$ con $n\in[1,+oo]$ per k?

[Rigel1]

Penso che la copertura utilizzata sia del tipo \((-1+\epsilon, 1-\epsilon)\), con \(\epsilon\in (0,1)\), o qualcosa del genere; vedi subito che da qui non puoi estrarre nessuna sottocopertura finita (basta ragionare per assurdo).
Se usi \((-1/n, 1/n)\), con \(n\geq 1\), ti basta prendere il primo insieme per ricoprire il tuo intervallo.

[lucia88]

Ok, grazie mille
Cmq riflettendoci avrei potuto dire che non essendo chiuso non può essere compatto

Quindi volevo fare un'ultima domanda riguardo la dimostrazione del teorema:

Se $K\subseteq X$ è compatto, allora K è chiuso e totalmente limitato.

K è chiuso quindi $K^c$ è aperto.
Prendo $x_o \in K^c$ e $y \in K$, $x_0 != y$ per definizione
Si pone $d_y=1/3 d(y,x_0) >0$
quindi $B_(d_y)(x_0)={x\inK^c : d(x,x_0) e $B_(d_y)(y)={z\inK : d(z,y)
come dimostro che $B_(d_y)(x) \cup B_(d_y)(y)= 0$ usando la disuguaglianza triangolare ?

se applico la dis.triangolare ho: $d(y,x_0) <=d(y,t) +d(x_0,t)$ , come arrivo a dire che l'intersezione è l'insieme vuoto?

[Rigel1]

"Lucia":Ok, grazie mille
Cmq riflettendoci avrei potuto dire che non essendo chiuso non può essere compatto

Ovviamente sì, ma penso che lo scopo fosse quello di dimostrare la non compattezza usando la definizione.

Se $K\subseteq X$ è compatto, allora K è chiuso e totalmente limitato.

K è chiuso quindi $K^c$ è aperto.
Prendo $x_o \in K^c$ e $y \in K$, $x_0 != y$ per definizione
Si pone $d_y=1/3 d(y,x_0) >0$
quindi $B_(d_y)(x_0)={x\inK^c : d(x,x_0) e $B_(d_y)(y)={z\inK : d(z,y)
come dimostro che $B_(d_y)(x) \cup B_(d_y)(y)= 0$ usando la disuguaglianza triangolare ?

Immagino tu intenda \(B_{d_y}(x_0) \cap B_{d_y}(y)= \emptyset\).
Se \(z\in B_{d_y}(x_0)\), allora \(d(z,y)\geq d(y,z_0) - d(z,x_0)> \frac{2}{3} d_y\), dunque \(z\not\in B_{d_y}(y)\).

[Alberto S]

L’intervallo chiuso [0,1] è compatto.
Una sua copertura aperta è: (-0.1, 0.4)U(0.2,0.7)U(0.6,1.1).
Ogni sottofamiglia estratta lascia scoperta una parte di [0.1], e quindi non è una sottocopertura finita.
Quindi [0,1]non dovrebbe essere compatto

Tra l’altro, mentre mi è chiaro il perché, ai fini della compattezza, è necessaria la limitatezza dell’insieme, mi è molto meno chiaro il perché sia necessaria la sua chiusura.

Infine: dire “un insieme è compatto se e solo se ogni ricopertura di aperti ammette una sottocopertura finita” è la stessa cosa che dire “un insieme è compatto se è ricopribile con un numero finito di aperti?”
Sicuramente no, altrimenti anche R (-∞, +∞) sarebbe compatto perché è ricopribile, ad es. dalla coppia di aperti: (-∞, +1)U (-1,+∞). E invece, come sappiamo, R, in quanto illimitato, non è compatto.
Mi aiutate a capire dove sono le “falle” dei miei ragionamenti?

Grazie e saluti

Alberto S

[Rigel1]

"Alberto S":L’intervallo chiuso [0,1] è compatto.
Una sua copertura aperta è: (-0.1, 0.4)U(0.2,0.7)U(0.6,1.1).
Ogni sottofamiglia estratta lascia scoperta una parte di [0.1], e quindi non è una sottocopertura finita.
Quindi [0,1]non dovrebbe essere compatto

Basta prendere tutti e tre gli insiemi: se parti da una copertura finita sei già a posto!

[vict85]

"Lucia":Ok, grazie mille
Cmq riflettendoci avrei potuto dire che non essendo chiuso non può essere compatto

Quindi volevo fare un'ultima domanda riguardo la dimostrazione del teorema:

Se $K\subseteq X$ è compatto, allora K è chiuso e totalmente limitato.

Attento che in generale entrambe le affermazioni sono false. In particolare compatto non implica chiuso. Le cose funzionano perché lo spazio è di hausdorff.

[Alberto S]

"Rigel":[quote="Alberto S"]L’intervallo chiuso [0,1] è compatto.
Una sua copertura aperta è: (-0.1, 0.4)U(0.2,0.7)U(0.6,1.1).
Ogni sottofamiglia estratta lascia scoperta una parte di [0.1], e quindi non è una sottocopertura finita.
Quindi [0,1]non dovrebbe essere compatto

Basta prendere tutti e tre gli insiemi: se parti da una copertura finita sei già a posto![/quote]

Ok, Rigel.
Allora spunta fuori l'altro dubbio esposto alla fine.
L'insieme (-∞. +∞) può essere coperto con un numero finito di aperti, ad es. (-∞. +1) U (-1,∞).
Oppure l'insieme [0, +∞) può essere coperto da (-2, +1) U (-1, +∞)
Quindi dovrebbero essere compatti, ma non lo sono.
Dov'è che sbaglio?
Ciao e grazie

[Rigel1]

"Alberto S":
Allora spunta fuori l'altro dubbio esposto alla fine.
L'insieme (-∞. +∞) può essere coperto con un numero finito di aperti, ad es. (-∞. +1) U (-1,∞).
Oppure l'insieme [0, +∞) può essere coperto da (-2, +1) U (-1, +∞)
Quindi dovrebbero essere compatti, ma non lo sono.
Dov'è che sbaglio?

...da ogni copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura finita.
Ad esempio, dalla copertura aperta \(A_n := (n-1, n+1)\), \(n\in\mathbb{Z}\), non è possibile estrarre alcuna sottocopertura finita di \(\mathbb{R}\).

[Alberto S]

Oooh, adesso sì che è chiaro dove era l'errore!
Grazie infinite

Alberto

[Alberto S]

Un'ultima verifica, per essere certo di aver compreso bene.
L'insieme $ [0,1]nn mathbb(Q) $ dovrebbe essere compatto su $ mathbb(R) $
Al contrario, l'insieme $ [0,1]\\ mathbb(Q) $ non dovrebbe esserlo.
Giusto?

Grazie sempre

Alberto

[vict85]

Un insieme denso proprio può essere chiuso?

[Alberto S]

Entrambi gli insiemi da me citati sono densi, ma non sono né chiusi né aperti, ovviamente.
Il primo, però, ammette tutte coperture con sottocoperture finite.
Il secondo no.
Entrambi gli insiemi sono limitati, ma non chiusi.
Significa allora che non possono essere compatti?
E' una questione su cui mi sto "scapocciando"
Ciao e grazie

PS So che, secondo il teorema di Heine-Borel, in $ mathbb(R) $ :
Insieme chiuso e imitato $ hArr $ Insieme compatto.
E so pure che, in uno spazio metrico, quale $ mathbb(R) $ , le nozioni di compattezza topologica e compattezza sequenziale coincidono. Pertanto, non essendovi compattezza sequenziale per nessuno dei due insiemei citati, non dovrebbe esservi nemmeno compattezza topologica.
Ma sapreste formulare una copertura aperta dell'insieme $ [0,1]nn mathbb(Q) $ che non abbia sottocopertura finita? Io non ci riesco
Ri-grazie

[vict85]

Siccome \(\mathbb{R}\) è un insieme topologico di Hausdorff allora compatto implica chiuso. https://proofwiki.org/wiki/Compact_Subs ... _is_Closed

In ogni caso \(J = [0,1]\cap \mathbb{Q}\) non è connesso. Gli aperti \(\displaystyle (-1,1-\sqrt{2})\) e \((1-\sqrt{2},2) \) ricoprono \(\displaystyle J \) e sono entrambi aperti nella topologia indotta. Similmente posso costruire un ricoprimento di aperti numerabile nel seguente modo. Sia \(\displaystyle r \in [0,1]\setminus J \) e considera \(\displaystyle \{(-1,r), (r,2)\} \). Questo è un ricoprimento aperto formato da insiemi disgiunti di \(\displaystyle J \). Prendi \(\displaystyle r_2^1 \) e \(\displaystyle r_2^2 \) rispettivamente in \(\displaystyle (0,r) \) e \(\displaystyle (r,1) \) allora \(\displaystyle \{ (-1,r_2^1), (r_2^1, r), (r, r_2^2), (r_2^2, 2) \} \) ricopre \(\displaystyle J \) con aperti disgiunti. È evidente che si può procedere all'infinito. Questo è più che altro per una questione intuitiva. Si poteva anche partire da una successione \(\displaystyle \{r_i : i \ge 0\} \) a valori in \(\displaystyle [0,1]\setminus J \), tendente ad un certo \(\displaystyle r\in [0,1]\setminus J \) e tale che \(\displaystyle r_{2k} < \{r_i : i \ge 2k+2)\} < r_{2k+1} \) per ogni \(\displaystyle k\ge 0 \). Data questa successione posso definire un ricoprimento di aperti disgiunti usando gli aperti della forma:\(\displaystyle (-1,r_0), (r_1, 2), (r_{2k}, r_{2k+2)}), (r_{2k+3}, r_{2k+1}) \).

[Alberto S]

Risposta esauriente.
Grazie di nuovo
Alberto