Insieme compatto (ellisse)

[lRninG]

Buongiorno. Mi servirebbe una conferma per quanto riguarda la compattezza dell'insieme: $2x^2 +4xy+3y^2<=6$ che rappresenta un'ellisse.
Posso dire che l'insieme è chiuso in quanto il complementare a quest'ultimo: "contiene tutti i suoi punti ed: è sempre possibile creare un disco di raggio finito che contenga solo punti dell'insieme", ed è quindi aperto? Ovvero: complementare aperto $\to$ insieme di partenza chiuso.

E posso dire che è limitato in quando dominio e codominio sono limitati in quanto ellisse?

Grazie!

[anto_zoolander]

Quell’insieme è semplicemente la controimmagine di $(-infty,6]$, che è un chiuso di $RR$, mediante la funzione continua $f(x,y)=2x^2+4xy+3y^2$; quindi è chiuso.

Altrimenti se non vuoi usare questo devo mostrare che contiene tutti i suoi punti di aderenza.

Intuitivamente si è limitata però potresti anche dimostrarlo.

[lRninG]

Ti ringrazio.
Posso sempre procedere con insieme controimmagine è chiuso mediante la $f(x,y)$ $\to$ insieme di partenza è chiuso?
Grazie. Per la limitatezza leggo dalle dispense "è limitato poiché la forma quadratica q che definisce l’ellisse è
definita positiva". E' abbastanza rigoroso?

[anto_zoolander]

Da come parli, la questione non sui chiusi, non ti è molto friendly

È un modo per evitare alcuni conti quando già sai che una funzione è continua

Penso tu abbia sentito parlare della “definizione equivalente di continuità”

una funzione $f:AsubsetRR^n->RR$ è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto è un aperto di $RR^n$

Chiaramente passando al complementare vale anche per i chiusi.

Per quanto riguarda la limitatezza questa cosa non mi era nota ma penso si possa dimostrare considerando che

Se $q$ è definita positiva allora $sqrt(q(*))$ è una norma e su $RR^n$ tutte le norme sono equivalenti pertanto esiste una costante $m>0$ per cui

$norm(x)_2 leq m sqrt(q(x))$

quindi se $q(x)leq6$ allora $norm(x)_2leqmsqrt(6)$ da cui la limitatezza

[lRninG]

"anto_zoolander":Da come parli, la questione non sui chiusi, non ti è molto friendly

Decisamente, no

Ti ringrazio per le risposte, ora cerco di mettere insieme i concetti

[anto_zoolander]

Se dovessi avere bisogno di un altro approccio fammi sapere

[lRninG]

Gentilissimo!

[lRninG]

"anto_zoolander":Se dovessi avere bisogno di un altro approccio fammi sapere

Scusami, vista la tua disponibilità...
Sono andato a vedermi la parte di teoria relativa agli insieme compatti e volevo chiederti se potevi spiegarmi meglio la tua affermazione che viene riportata più volte anche sul mio libro :

"anto_zoolander":Quell’insieme è semplicemente la controimmagine di $ (-infty,6] $, che è un chiuso di $ RR $, mediante la funzione continua $ f(x,y)=2x^2+4xy+3y^2 $;

Grazie!

[anto_zoolander]

Ri-ciao

Metto sotto spoiler che è venuto lunghetto

Definisco prima due elementi

$B_n(x_0,r):={x inRR^n:norm(x-x_0)
$B(x_0,r):={x in RR:abs(x-x_0)
Presa $f:RR^n->RR$ funzione la nozione di continuità(in un punto $x_0$) che conosci è la seguente

1.

$forall epsilon>0existsdelta>0:forallx inRR^n(norm(x-x_0)abs(f(x)-f(x_0))
Puoi notare che questa definizione è equivalente alla seguente

2.

$forallepsilon>0 existsdelta>0: f(B_n(x_0,delta))subsetB(f(x_0),epsilon)$[nota]l’immagine della palletta di $RR^n$ è contenuta nella palletta di $RR$[/nota]

E se conosci cosa sia un intorno passare ad una forma equivalente con gli intorni è un attimo

Questa ultima forma è comoda comoda per mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti

$a)$ Per ogni aperto $A$ di $RR$ l’insieme $f^(leftarrow)(A)$ è aperto in $RR^n$
$b)$ $f$ è continua in ogni punto di $RR^n$

supponi che valga $a$

È chiaro che per ogni $epsilon>0$ l’insieme $B(f(x_0),epsilon)$ è un aperto di $RR$ quindi per ipotesi $f^(leftarrow)(B(f(x_0),epsilon))$ è un aperto di $RR^n$, essendo $x_0 in f^(leftarrow)(B(f(x_0),epsilon))$ e sapendo chi sono gli aperti di $RR^n$, esiste un $delta>0$ per cui $B_n(x_0,delta)subsetf^(leftarrow)(B(f(x_0),epsilon))$

Da cui $f(B_n(x_0,delta))subsetf(f^(leftarrow)(B(x_0,epsilon))subsetB(x_0,epsilon)$

supponi che valga $b$

Sia $A$ un aperto di $RR$ dobbiamo mostrare che $f^(leftarrow)(A)$ è ancora aperto(in $RR^n$)

- se $A=emptyset$ oppure $A=RR$ va bene

Infatti $f^(leftarrow)(emptyset)=emptyset$ e $f^(leftarrow)(RR)=RR^n$
Sono aperti per definizione(c’è un motivo)

- supponi che $emptyset neAneRR$

Dato $x_0 in f^(leftarrow)(A)$ allora $f(x_0) in A$ quindi esiste un $epsilon>0$ per cui $B(f(x_0),epsilon)subsetA$ e per continuità esiste un $delta>0$ per cui

$f(B_n(x_0,delta))subsetB(f(x_0),epsilon)subsetA$

Pertanto $B_n(x_0,delta)subsetf^(leftarrow)(f(B_n(x_0,delta))subsetf^(leftarrow)(A)$

questo significa che ogni punto di $A$ possiede una palletta centrata in esso che è interamente contenuta in $A$ ovvero è aperto.

Se ti dovesse venire il dubbio "ma la definizione delle pallette a cosa serve? Nemmeno le hai utilizzate" sarebbe un dubbio sano; queste cose valgono su più generici intorni e sotto alcune ipotesi solo per alcuni di essi. Questo “solo per alcuni di essi” può capitare perché ci sono famiglie di intorni, come le pallette in $RR^m$, sufficienti per descrivere tutte le proprietà locali che ti servono.

Ora se consideri che dato $A subsetRR^m$

$A$ è aperto $<=>$ $RR^m setminusA$[nota]è il complementare di $A$ in $RR$[/nota] è chiuso

Segue che la cosa rimane equivalente se nella equivalenza tra i punti $a$ e $b$ nel punto $a$ sostituisci "aperto" con "chiuso".

Questo è quello che si usa solitamente.

Infatti essendo $q$ una funzione continua $q:RR^2->RR$ e $A={(x,y) inRR^2:q(x,y)leq6}=q^(leftarrow)((-infty,6])$ con $(-infty,6]$ chiuso in $RR$; $A$ risulta chiuso in $RR^2$

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lRninG

28 ago 2019, 12:04

Beh che dire... meglio che un libro di testo! Grazie, fin troppo gentile!

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[lRninG]

Beh che dire... meglio che un libro di testo! Grazie, fin troppo gentile!