Insieme compatto
Non riesco a capire se un insieme è compatto o no... 
Cioè conosco la definizione del chiuso e limitato....
ma non risco poi a capire... sarà perché la trigonometria non l'ho mai vista prima di questi primi mesi di università...
Mi potete dare una mano?
gli esempi che non riesco a capire sono questi:
quale dei seguenti insiemi è compatto? $NN$ intendendo con il pallino cioè escluso lo zero
a)$\{n^2sin(1/n), n in NN}uu{0}$
b)$\{(1/n^2)sinn, n in NN}$
c)$\{nsin(1/n^2), n in NN}uu{0}$
d)$\{(n^2)sin(n/(n+1)), n in NN}$
La risposta corretta è la C ma non capisco proprio a capire il Ragionamento da fare!
Mi potete dare un aiuto per capire come fare?
Cioè conosco la definizione del chiuso e limitato....
ma non risco poi a capire... sarà perché la trigonometria non l'ho mai vista prima di questi primi mesi di università...
Mi potete dare una mano?
gli esempi che non riesco a capire sono questi:
quale dei seguenti insiemi è compatto? $NN$ intendendo con il pallino cioè escluso lo zero
a)$\{n^2sin(1/n), n in NN}uu{0}$
b)$\{(1/n^2)sinn, n in NN}$
c)$\{nsin(1/n^2), n in NN}uu{0}$
d)$\{(n^2)sin(n/(n+1)), n in NN}$
La risposta corretta è la C ma non capisco proprio a capire il Ragionamento da fare!
Mi potete dare un aiuto per capire come fare?
Risposte
In quanto successioni i tuoi insiemi sono formati da dei punti discreti. A e D non sono limitati, perchè $lim_(n-> \infty) a_n = \infty$ (cerca di dimostrarlo) quindi non sono compatti. B e C sono limitati, perchè $lim_(n-> \infty) a_n = 0$ (cerca di dimostrare anche questo.....). B non è chiuso perchè il limite della successione, cioè 0, non appartiene all'insieme. Ti ricordo che un insieme è chiuso se coincide con la sua chiusura, cioè l'unione dell'insieme e dei suoi punti di accumulazione. C invece, per lo stesso motivo, è chiuso.
Ti è più chiaro così?
Ti è più chiaro così?
Allora ci provo...
Riguardo al B ricorrendo ai limiti notevoli ottengo $1/n$ perché uso il limite notevole $(sinn/n)*n$ e dunque viene $(1/n^2)*n=(1/n)$ e effettivamente tende a 0!
Riguardo al C riprovo con i limiti notevoli riottengo $(1/n)$ cioè tende a 0
Dunque poichè sia nel B che nel C lo zero non c'è però nel C appunto grazie all'unione lo 0 c'è... la risposta giusta è C!
Giusto il ragionamento?
Invece nella A con i limiti notevoli appunto viene $oo$
mentre nel D con i limiti notevoli ottengo $n^2* (n/(n+1))$ quindi guardando l'ordine superiore viene $oo$
Giusto il ragionamento?
Ma allora, se bisogna ricorrere ai limiti notevoli per capire a cosa tende la successione tipo se a $oo$ o a $0$ nel caso di prima....
se avevo l'arcotangente come faccio?
Tipo
a)${arctan ((1+n)/n), n inNN^\}uu(\pi/4)$
b)${arctan ((1+n)/n), n inNN^\}$
Cioè quella giusta è la A ma come posso sfruttare i limiti notevoli se ho un arctan?
Riguardo al B ricorrendo ai limiti notevoli ottengo $1/n$ perché uso il limite notevole $(sinn/n)*n$ e dunque viene $(1/n^2)*n=(1/n)$ e effettivamente tende a 0!
Riguardo al C riprovo con i limiti notevoli riottengo $(1/n)$ cioè tende a 0
Dunque poichè sia nel B che nel C lo zero non c'è però nel C appunto grazie all'unione lo 0 c'è... la risposta giusta è C!
Giusto il ragionamento?
Invece nella A con i limiti notevoli appunto viene $oo$
mentre nel D con i limiti notevoli ottengo $n^2* (n/(n+1))$ quindi guardando l'ordine superiore viene $oo$
Giusto il ragionamento?
Ma allora, se bisogna ricorrere ai limiti notevoli per capire a cosa tende la successione tipo se a $oo$ o a $0$ nel caso di prima....
se avevo l'arcotangente come faccio?
Tipo
a)${arctan ((1+n)/n), n inNN^\}uu(\pi/4)$
b)${arctan ((1+n)/n), n inNN^\}$
Cioè quella giusta è la A ma come posso sfruttare i limiti notevoli se ho un arctan?
Avrei alcune cose da farti notare......
Nel B il limite notevole che invochi è $lim_(x->0) (sin x)/x = 1$ la tua n invece va all'infinito.....pensa a cosa fa sin n per n grande....
Il C è ok. Nel senso che $n sin (1/(n^2)) = 1/n (sin ( n^(-2) ) )/(n^(-2)) -> 0 * 1 = 0$ (te lo scrivo solo perchè così puoi controllare con quello che hai scritto te se eventualmente avessi voglia di farlo......)
Anche A bene nello stesso senso di prima, cioè $n^2 sin (1/(n)) = n (sin ( n^(-1) ) )/(n^(-1)) -> \infty * 1 = \infty$
Per il D non ho proprio capito come fai a passare da $n^2 sin (n/(n+1))$ a $n^2 * (n/(n+1))$
Nel caso della tangente puoi ragionare così, visto che è una funzione continua per $x != k \pi / 2$ hai che puoi portare dentro il limite quindi se $a_n -> L$ hai che
$lim_(n-> \infty) arctan (a_n) = arctan ( lim_(n-> \infty) a_n ) = arctan L$
Ci riesci così?
Nel B il limite notevole che invochi è $lim_(x->0) (sin x)/x = 1$ la tua n invece va all'infinito.....pensa a cosa fa sin n per n grande....
Il C è ok. Nel senso che $n sin (1/(n^2)) = 1/n (sin ( n^(-2) ) )/(n^(-2)) -> 0 * 1 = 0$ (te lo scrivo solo perchè così puoi controllare con quello che hai scritto te se eventualmente avessi voglia di farlo......)
Anche A bene nello stesso senso di prima, cioè $n^2 sin (1/(n)) = n (sin ( n^(-1) ) )/(n^(-1)) -> \infty * 1 = \infty$
Per il D non ho proprio capito come fai a passare da $n^2 sin (n/(n+1))$ a $n^2 * (n/(n+1))$
Nel caso della tangente puoi ragionare così, visto che è una funzione continua per $x != k \pi / 2$ hai che puoi portare dentro il limite quindi se $a_n -> L$ hai che
$lim_(n-> \infty) arctan (a_n) = arctan ( lim_(n-> \infty) a_n ) = arctan L$
Ci riesci così?
Ho controllato il procedimento che avevo fatto nel C ed è lo stesso che hai fatto tu! così come nell'A ho eseguito le stesso passaggio! 
Non capisco il D cioè anche lì ho fatto lo stesso ragionamento... (O.O non mi dire che non si poteva fare!) allora lo scrivo:
$n^2sin(n/n+1)$ ed ho trattato come se $n/(n+1)$ fosse la mia $x$ cioè con il limite notevole $\lim_{n \to \0}(sinx)/x =1$
e quindi lo applico e mi viene $n^2*(sin(n/(n+1)/(n/(n+1))))*(n/n+1)$ e quindi $n^2*1*(n/(n+1))$ e con l'ordine superiore prendo $n^3$ e va a $oo$... non so se è un ragionamento giusto, io pensavo di sì...
Per il B sinceramente cosa fa sin n per n grande... non ne ho idea (su queste cose sono un po' autodidatta, non le ho mai fatte prima)
e comunque anche lì avevo seguito lo stesso ragionamento:
$\lim_{n \to \0}(1/n^2)*(sinx)/n *n$ e di conseguenza $(1/n^2)*1*n$ cioè $(1/n)$ ed un numero su $oo$ fa $0$... sbaglio anche qui?
Tu con che passaggi risolvi?
Per la tangente ho riflettuto così:
$\lim_{n \to \infty}arctan(an)= arctanlim_{n \to \infty}an=arctanL$
Quindi $ arctanlim_{n \to \infty}((1+n)/n)=arctan1$ perché prendo sempre l'ordine superiore cioè $n/n$ e cioè 1...
e l'$arctan1= (pi/4)$
Dunque perché prendere la soluzione A invece della B? cioè l'arcotangente da $(pi/4 , 1)$ c'è la funzione no? quindi perché inserire nella soluzione A l'unione appunto con $pi/4)$?
Se ovviamente tutto il ragionamento che ho fatto è giusto...
Aiuto! e grazie per la pazienza!
Non capisco il D cioè anche lì ho fatto lo stesso ragionamento... (O.O non mi dire che non si poteva fare!) allora lo scrivo:
$n^2sin(n/n+1)$ ed ho trattato come se $n/(n+1)$ fosse la mia $x$ cioè con il limite notevole $\lim_{n \to \0}(sinx)/x =1$
e quindi lo applico e mi viene $n^2*(sin(n/(n+1)/(n/(n+1))))*(n/n+1)$ e quindi $n^2*1*(n/(n+1))$ e con l'ordine superiore prendo $n^3$ e va a $oo$... non so se è un ragionamento giusto, io pensavo di sì...
Per il B sinceramente cosa fa sin n per n grande... non ne ho idea (su queste cose sono un po' autodidatta, non le ho mai fatte prima)
e comunque anche lì avevo seguito lo stesso ragionamento:
$\lim_{n \to \0}(1/n^2)*(sinx)/n *n$ e di conseguenza $(1/n^2)*1*n$ cioè $(1/n)$ ed un numero su $oo$ fa $0$... sbaglio anche qui?
Tu con che passaggi risolvi?
Per la tangente ho riflettuto così:
$\lim_{n \to \infty}arctan(an)= arctanlim_{n \to \infty}an=arctanL$
Quindi $ arctanlim_{n \to \infty}((1+n)/n)=arctan1$ perché prendo sempre l'ordine superiore cioè $n/n$ e cioè 1...
e l'$arctan1= (pi/4)$
Dunque perché prendere la soluzione A invece della B? cioè l'arcotangente da $(pi/4 , 1)$ c'è la funzione no? quindi perché inserire nella soluzione A l'unione appunto con $pi/4)$?
Se ovviamente tutto il ragionamento che ho fatto è giusto...
Aiuto! e grazie per la pazienza!
Per il D. Non puoi ragionare così perchè $lim_(n-> \infty) n / (n+1) = 1$ e non zero, come giustamente osservi quando parli della tangente, quindi non puoi usare il limite notevole del seno fratto x , perchè x non va a zero.....
Per il B. Con lo stesso ragionamento capisci che non può essere giusto perchè $lim_(n-> \infty) (sin n ) / n != 1$. Poi sin n per n che diverge non ha limite, pensa al grafico, però una cosa che sai per certo è che -1 < sin n < 1 per ogni n>0...........questo è un aiutino........
Per quello con la tangente. Ok la parte del calcolo del limite. Per quanto riguarda la domanda dell'esercizio prova a ragionare come abbiamo fatto per il primo esempio........un insieme discreto e numerabile è chiuso se coincide con l'unione di se e dei suoi punti di accumulazione........è lo stesso ragionamento che ci porta a dire che la risposta giusta nell'esercizio di prima è la C
Per il B. Con lo stesso ragionamento capisci che non può essere giusto perchè $lim_(n-> \infty) (sin n ) / n != 1$. Poi sin n per n che diverge non ha limite, pensa al grafico, però una cosa che sai per certo è che -1 < sin n < 1 per ogni n>0...........questo è un aiutino........
Per quello con la tangente. Ok la parte del calcolo del limite. Per quanto riguarda la domanda dell'esercizio prova a ragionare come abbiamo fatto per il primo esempio........un insieme discreto e numerabile è chiuso se coincide con l'unione di se e dei suoi punti di accumulazione........è lo stesso ragionamento che ci porta a dire che la risposta giusta nell'esercizio di prima è la C
...allora mi sa che non ho capito una cosa di base Importantissima:perché nell'A e nel C posso usare il limite notevole che tende a $0$? Mentre nel B e D no? e li la funzione dico che per il teorema dei due carabinieri deduco che $\lim_{n \to \infty}(sinx)/x=0$
Allora nel B potrei fare:$\lim_{n \to \infty}(1/n^2)((sinn)/n)n=(1/n)*0=0*0=0$ adesso è giusto?
Nel D invece mi arrendo perché viene indeterminata e non va bene, metto il passaggio:$\lim_{n \to \infty}(n^2)(sin(n/(n+1))/(n/(n+1)))(n/(n+1))=(n^3)/(n+1)*0=$ordine superiore è $n^3=oo$ ma $oo*0$ è una forma indeterminata no? o forse dovevo già usare l'ordine superiore cioè $\lim_{n \to \infty}n^2(sin(n/(n+1)))$ e cioè $n^2$ e viene $oo$!
Ma allora anche nel B potevo direttamente usare l'ordine superiore cioè $\lim_{n \to \infty}(1/n^2)sinn$e l'ordine superiore è $1/oo$cioè $0$...
La tangente allora è quella con l'unione con $pi/4$ perché deve essere punto di accumulazione! vero?
Aiuto!
Allora nel B potrei fare:$\lim_{n \to \infty}(1/n^2)((sinn)/n)n=(1/n)*0=0*0=0$ adesso è giusto?
Nel D invece mi arrendo perché viene indeterminata e non va bene, metto il passaggio:$\lim_{n \to \infty}(n^2)(sin(n/(n+1))/(n/(n+1)))(n/(n+1))=(n^3)/(n+1)*0=$ordine superiore è $n^3=oo$ ma $oo*0$ è una forma indeterminata no? o forse dovevo già usare l'ordine superiore cioè $\lim_{n \to \infty}n^2(sin(n/(n+1)))$ e cioè $n^2$ e viene $oo$!
Ma allora anche nel B potevo direttamente usare l'ordine superiore cioè $\lim_{n \to \infty}(1/n^2)sinn$e l'ordine superiore è $1/oo$cioè $0$...
La tangente allora è quella con l'unione con $pi/4$ perché deve essere punto di accumulazione! vero?
Aiuto!
esatto.....siccome per $n->\infty$ si ha che $sin n < n$ allora si avrà anche $(sin n)/(n^2) < 1/n -> 0$, allora per il teorema del confronto hai finito.
Per il D vorrei che fosse chiaro che il limite notevole è questo
$lim_(x->0) (sin x ) / x = 1$
e tu hai
$lim_(n->\infty) n^2 sin ( n/(n+1) ) -> n^2 * sin 1 -> \infty$
ok?
Bene per la tangente.
Per il D vorrei che fosse chiaro che il limite notevole è questo
$lim_(x->0) (sin x ) / x = 1$
e tu hai
$lim_(n->\infty) n^2 sin ( n/(n+1) ) -> n^2 * sin 1 -> \infty$
ok?
Bene per la tangente.
Allora ho capito!Finalmente
Grazie alle.fabbri per la spiegazione e la pazienza!
figurati...buono studio!!
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