Insieme chiuso in L2

[Daniele Florian]

Sto facendo vari esercizi sugli spazi di Hilbert, avrei un dubbio un pò generale.

Molti esercizi mostrano dei sottoinsiemi di $L^2$ e chiedono se sono chiusi, compatti, ecc..
la mia domanda è: per dimostrare la chiusura di un insieme (solitamente definito in base alla proprietà delle funzioni suoi elementi) posso mostrare che il complementare è aperto? Ovvero mostrare che esiste una successione non di quell insieme che converge a una funzione di quell' insieme? Questo ragionamento può funzionare?

Grazie..

[gugo82]

Possono funzionare entrambi, poiché \(L^2\) è uno spazio topologico metrico, quindi la chiusura topologica (i.e., il fatto che il complementare dell'insieme sia aperto) coincide con la chiusura per successioni (i.e., ogni successione convergente fatta di elementi dell'insieme ha limite dentro l'insieme).
Quale strategia scegliere dipende dai casi.