Insieme chiuso e limitato
sto riguardando un problema di massimizzazione con vincolo, e cioè assegnata un'area devo stabilire qual è il parallelepipedo di volume massimo.
il mio problema sta nel capire perchè l'insieme ${(x,y,z) in RR^3 " " | " " xy + yz + xz = a/2, 0<=x<=M, 0<=y<=M, 0<=z<=M }$ è chiuso e limitato. limitato mi pare chiaro, ma chiuso non tanto..
a è un parametro assegnato, cioè l'area, M un numero positivo
il mio problema sta nel capire perchè l'insieme ${(x,y,z) in RR^3 " " | " " xy + yz + xz = a/2, 0<=x<=M, 0<=y<=M, 0<=z<=M }$ è chiuso e limitato. limitato mi pare chiaro, ma chiuso non tanto..
a è un parametro assegnato, cioè l'area, M un numero positivo
Risposte
Ti basta ricordare tre cose:
1) un insieme di livello di una funzione continua è chiuso; di conseguenza, posto $f(x,y,z) = xy+yz+xz$, l'insieme di livello $a/2$ di $f$ è chiuso;
2) l'intersezione di insiemi chiusi è un chiuso;
3) l'insieme $\{(x,y,z)\in R^3:\ 0\le x\le M\}$ è chiuso (e analogamente gli altri due); anche questo lo puoi vedere come intersezione di sottolivelli $g\le 0$ di funzioni continue.
1) un insieme di livello di una funzione continua è chiuso; di conseguenza, posto $f(x,y,z) = xy+yz+xz$, l'insieme di livello $a/2$ di $f$ è chiuso;
2) l'intersezione di insiemi chiusi è un chiuso;
3) l'insieme $\{(x,y,z)\in R^3:\ 0\le x\le M\}$ è chiuso (e analogamente gli altri due); anche questo lo puoi vedere come intersezione di sottolivelli $g\le 0$ di funzioni continue.
grazie mille
scusa ma mi è venuto un dubbio: la curva di livello $x^2 + y^2 = k$ non è un insieme chiuso, perchè è una circonferenza. o sbaglio?
Certo che è un insieme chiuso.
scusa la mia ignoranza, potresti chiarirmi il perchè? evidentemente mi sfugge qualcosa
Ad esempio, perché se $C$ è la tua circonferenza e prendi una successioni di punti $P_n\in C$, convergente ad un punto $P$, allora anche $P\in C$.
Oppure, perché $C$ è il complementare (in $R^2$) di un insieme aperto.
Oppure, perché $C$ è il complementare (in $R^2$) di un insieme aperto.
però mi pare ci sia una discrepanza (tieni conto che non so molto di topologia comunque): è vero che il complementare di C è l'unione di due aperti, però è anche vero che se prendo un intorno di un punto di C, questo prende punti sia di C che del suo complementare. e quindi C dovrebbe essere un insieme di punti di frontiera
..che scemo, può benissimo essere un insieme chiuso ugualmente! scusa per la digressione, ora mi pare sia tutto sistemato
grazie!
..che scemo, può benissimo essere un insieme chiuso ugualmente! scusa per la digressione, ora mi pare sia tutto sistemato
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