Insieme chiuso e convesso

[galois23]

Vorrei sottoporvi un quesito.

Ho il seguente insieme: \(\displaystyle K_f= \{x \in H \;\;: \;\; f(x)= ||f||^2\} \) dove \(\displaystyle f: H \rightarrow \mathbb{C} \) un funzionale lineare continuo in $H$, spazio di Hilbert.

Dovrei provare che $K_f$ è un insieme non vuoto, chiuso e convesso in $H$, ma non saprei da dove iniziare...

[gugo82]

Per provare che \(K_f\) è chiuso, prendi una generica successione \((x_n)\subseteq K_f\) convergente e prova che \(x=\lim_n x_n\) sta in \(K_f\).
Per provare che \(K_f\) è convesso e non vuoto, ti conviene tener presente il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari continui in \(H\).

[galois23]

Scusatemi se torno a proporvi qualcosa su insiemi chiusi e convessi, ma mi sono trovato davanti un esempio di questo tipo:

In \(\displaystyle C([0;1]) \), insieme delle funzioni continue, munito della norma della convergenza uniforme. Sia \(\displaystyle D= \{ f \in C([0,1])\;\; : \;\; \int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) dx - \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)dx = 1\} \).

Quello che devo provare è che $D$ è non vuoto, convesso e chiuso senza elemento di norma minimale.

[gugo82]

\(C([0,1])\) non è di Hilbert con la norma \(L^\infty\) (infatti, la norma non è indotta da prodotto scalare).

Inoltre, questo è un esercizio dal Rudin... Dovrei averlo svolto in pdf, chissà dove.
L'idea è che l'elemento di norma minima di \(K\) "vorrebbe essere" \(\phi:=\chi_{[0,1/2]} -\chi_{]1/2,1]}\), epperò esso non sta in \(C([0,1])\); d'altra parte è possibile approssimare la \(\phi\) con funzioni continue del tipo:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
path([[0,1],[0.45,1],[0.55,-1],[1,-1]]);[/asvg]

[galois23]

Si si, hai ragione! Ho scritto una boiata che $C[0,1]$ è di Hilbert con la norma del sup...

Ma quel pdf che dicevi, si può trovare facilmente???? Risponde ai miei quesiti??? Vorrei capire bene questo esempio!

[gugo82]

"galois23":Si si, hai ragione! Ho scritto una boiata che $C[0,1]$ è di Hilbert con la norma del sup...

Infatti... Anche perchè è un fatto basilare della teoria degli spazi di Hilbert che ogni convesso chiuso non vuoto abbia un elemento di noma minima.

"galois23":Ma quel pdf che dicevi, si può trovare facilmente???? Risponde ai miei quesiti??? Vorrei capire bene questo esempio!

"Quel pdf che dicevo" era il mio svolgimento di alcuni esercizi che feci mentre preparavo Analisi Funzionale.
Non so che fine abbia fatto; probabilmente è andato disperso quando è morto il vecchio PC.

[galois23]

Ho capito... ma tu non puoi aiutarmi a risolvere i dubbi che ho scritto sopra???

[gugo82]

Provo a ricostruire l'esercizio così come l'avevo svolto quattro anni fa.
Nella soluzione che ti hanno proposto, si usano le controimmagini di un appropriato funzionale lineare continuo su \(C([0,1])\) per mostrare che \(K\) è non vuoto, chiuso e convesso.
Qui di seguito, la mia soluzione è un po' meno sintetica di quella che ti hanno proposto, poiché (oggi come allora) trovo sia meglio sporcarsi le mani coi conti quando serve per essere chiari.

***

Esercizio:

In \(C([0,1])\) normato con la norma del massimo consideriamo l'insieme:
\[
K:=\left\{ u\in C([0,1]):\ \int_0^{1/2} u -\int_{1/2}^1 u =1 \right\}
\]
Vogliamo far vedere che:

[list=a] [*:2voiby3y] \(K\) è non vuoto, chiuso e convesso in \(C([0,1])\);

[/*:m:2voiby3y]
[*:2voiby3y] non esiste in \(K\) alcun elemento di norma minima.[/*:m:2voiby3y][/list:o:2voiby3y]

Soluzione:

Cominciamo dal punto a.

Innanzitutto, mostriamo che \(K\neq \varnothing\): infatti, la funzione:
\[
u(x):=\begin{cases} 4-8x &\text{, se } 0\leq x\leq 1/2 \\
0 &\text{, se } 1/2\leq x\leq 1
\end{cases}
\]
sta in \(K\).

Poi, l'insieme \(K\) è convesso: invero, se \(u,v\in K\), preso un qualsiasi \(\lambda \in [0,1]\) si ha:
\[
\begin{split}
\int_0^{1/2} \Big( \lambda u +(1-\lambda) v \Big) -\int_{1/2}^1 \Big( \lambda u +(1-\lambda) v \Big) &= \left( \lambda \int_0^{1/2} u +(1-\lambda) \int_0^{1/2} v \right) - \left( \lambda \int_{1/2}^1 u +(1-\lambda) \int_{1/2}^1 v \right)\\
&= \lambda \left( \int_0^{1/2} u -\int_{1/2}^1 u \right) + (1-\lambda) \left( \int_0^{1/2} v -\int_{1/2}^1 v\right)\\
&= \lambda + (1-\lambda)\\
&= 1
\end{split}
\]
sicché la combinazione convessa \(\lambda u + (1-\lambda) v\) sta in \(K\).

Infine, l'insieme \(K\) è chiuso: invero, se \((u_n)\subset K\) è una successione che converge in norma verso \(u\in C([0,1])\), allora per note proprietà dell'integrale di Riemann e della convergenza uniforme si ha:
\[
\begin{split}
\int_0^{1/2} u -\int_{1/2}^1 u &= \int_0^{1/2} \lim_n u_n -\int_{1/2}^1 \lim_n u_n\\
&= \lim_n \left( \int_0^{1/2} u_n -\int_{1/2}^1 u_n\right) \\
&= \lim_n 1\\
&= 1
\end{split}
\]
dunque \(u\in K\).

Per svolgere il punto b, dobbiamo proseguire come segue:

[list=1]
[*:2voiby3y] dobbiamo determinare il valore \( \gamma := \inf_{u\in K} \| u\|_\infty\) e

[/*:m:2voiby3y]
[*:2voiby3y] dobbiamo mostrare che non esiste alcuna \(v\in K\) tale che \(\| v\|_\infty =\gamma\).[/*:m:2voiby3y][/list:o:2voiby3y]

Per il punto 1:

Innanzitutto, supponiamo per assurdo che una \(u\in K\) abbia \(\| u\|_\infty =c<1\). In tal caso, risulterebbe \(-c\leq u(x)\leq c\) e pure \(-c\leq -u(x)\leq c\) cosicché:
\[
\int_0^{1/2} u -\int_{1/2}^1 u \leq c \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)=c<1\; ,
\]
ma ciò è assurdo in quanto \(u\in K\) e dunque \(\int_0^{1/2} u -\int_{1/2}^1 u =1\).
Pertanto si ha \(\| u\|_\infty \geq 1\) per ogni \(u\in K\) e conseguentemente:
\[
\gamma :=\inf_{u\in K}\| u\|_\infty \geq 1\; .
\]
Facciamo vedere che \(\gamma =1\).
Per fare ciò basta mostrare che per ogni \(\varepsilon >0\) sufficientemente piccolo esiste una funzione \(u_\varepsilon \in K\) tale che \(\| u_\varepsilon\|_\infty = 1+\varepsilon\): infatti, in tal modo risulta:
\[
\forall \varepsilon >0 \text{ "piccolo"},\ 1\leq \gamma \leq \| u_\varepsilon\|_\infty =1+\varepsilon \qquad \Rightarrow \qquad \gamma =1.
\]
Consideriamo la famiglia di funzioni:
\[
u(x;\varepsilon , \delta) := \begin{cases} 1+\varepsilon &\text{, se } 0\leq x\leq 1/2 - \delta \\
\frac{1+\varepsilon}{\delta} \left( \frac{1}{2} -x\right) &\text{, se } 1/2-\delta \leq x\leq 1/2 +\delta \\
-1-\varepsilon &\text{, se } 1/2 +\delta \leq x\leq 1
\end{cases}
\]
ove \(\varepsilon ,\delta >0\) sono entrambi piccoli (diciamo \(<1/2\)); evidentemente, per ragioni di simmetria (fai un disegno!) si ha:
\[
\begin{split}
\int_0^{1/2} u(x;\varepsilon ,\delta) -\int_{1/2}^1 u(x;\varepsilon ,\delta) &= 2 \int_0^{1/2} u(x;\varepsilon ,\delta)\\
&= 2 \int_0^{1/2-\delta} (1+\varepsilon) + 2\int_{1/2-\delta}^{1/2} \frac{1+\varepsilon}{\delta} \left( \frac{1}{2} -x\right)\\
&= 2\ (1+\varepsilon)\ \left( \frac{1}{2} -\delta \right) +2\ (1+\varepsilon)\ \frac{\delta}{2}\\
&= (1+\varepsilon)\ (1-\delta )
\end{split}
\]
cosicché \(u(x;\varepsilon ,\delta) \in K\) se e solo se \(\delta = \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\). Allora posto \(u_\varepsilon (x):= u(x;\varepsilon , \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon} )\) si ha:
\[
u_\varepsilon \in K \qquad \text{e} \qquad \| u_\varepsilon\|_\infty = 1+\varepsilon
\]
e dunque, per quanto detto più sopra, da ciò segue immediatamente \(\gamma =1\).

Per il punto 2:

Supponiamo per assurdo che esista \(v\in K\) tale che \(\| v\|_\infty =1=\gamma\) e mostriamo che da ciò segue una contraddizione.
Dato che \(v\in K\) si ha \(\int_0^{1/2} v -\int_{1/2}^1 v =1\) e che \(1=(1-1/2) +1/2\), risulta:
\[
\int_0^{1/2} v -\frac{1}{2} = \left( 1-\frac{1}{2}\right) + \int_{1/2}^1 v\; .
\]
ma allora:
\[
\tag{I}
\int_0^{1/2} (v-1) = \int_{1/2}^1 (1+v)
\]
perchè \(1/2 =\int_0^{1/2} 1\) e \(1-1/2 = \int_{1/2}^1 1\). D'altra parte, l'essere \(\| v\|_\infty =1\) equivale a \(-1\leq v(x) \leq 1\), dunque si ha \(v(x)-1\leq 0\) e \(1+v(x)\geq 0\) e perciò:
\[
\tag{II}
\int_0^{1/2} (v-1) \leq 0 \qquad \text{e} \qquad \int_{1/2}^1 (1+v) \geq 0\; .
\]
Dal confronto delle (I) e (II) traiamo:
\[
\tag{III}
\int_0^{1/2} (v-1) = 0 \qquad \text{e} \qquad \int_{1/2}^1 (1+v) =0
\]
e dalla (III), per la continuità di \(v\), segue immediatamente:
\[
v(x) := \begin{cases}
1 &\text{, per } 0\leq x\leq 1/2\\
-1 &\text{, per } 1/2 \leq x\leq 1\; .
\end{cases}
\]
Ma ciò è assurdo, perchè \(v\) è continua in \([0,1]\) ed, in particolare, è continua in \(1/2\).

Conseguentemente, per ogni \(u\in K\) si ha \(\| u\|_\infty >\gamma\).

P.S.: Scusa la lentezza, ma dalle mie parti la linea ADSL fa le bizze appena piove un po'.

[galois23]

Grazie mille Gugo....ora leggerò attentamente ciò che hai scritto!!!

[gugo82]

"galois23":Grazie mille Gugo....ora leggerò attentamente ciò che hai scritto!!!

Prego, figurati.

Se ci sono problemi, dimmelo pure.