Insieme chiuso, compatto e limitato
Ciao ragazzi! 
Ho dei dubbi riguardo un esercizio di un tema d'esame di Analisi 2. Il testo è: dato l'insieme
E: { \( log(x+y+3)/(x^2+y^2) \) } \( in R^2 \) stabilire quali affermazioni sono vere o false.
1) L'insieme è chiuso e limitato.
Per essere sia chiuso e limitato significa che sia compatto, qui non riesco a trovare un metodo analitico per risolvere. Esercizi in classe non ne abbiamo fatti e anche sul web mi sembrano strade troppo lunghe e complicate. C'è un modo per capire subito se è compatto (ad esempio graficamente o ragionando sul fatto che il logaritmo è sempre positivo come il denominatore)?
2) La frontiera di E è data dall'insieme \( (x+y+3) = 0 \) $uu$ \( (0,0) \)
Anche qui a livello teorico ho capito cosa sia la frontiera ma capire se questa funzione è frontiera di E no.
3) La chiusura di E è data dall'insieme \( (x+y+3) >= 0 \)
Idem come sopra, qui sembrerebbe che corrisponda al dominio della funzione (mi sbaglio?)
Grazie mille!
Ho dei dubbi riguardo un esercizio di un tema d'esame di Analisi 2. Il testo è: dato l'insieme E: { \( log(x+y+3)/(x^2+y^2) \) } \( in R^2 \) stabilire quali affermazioni sono vere o false.
1) L'insieme è chiuso e limitato.
Per essere sia chiuso e limitato significa che sia compatto, qui non riesco a trovare un metodo analitico per risolvere. Esercizi in classe non ne abbiamo fatti e anche sul web mi sembrano strade troppo lunghe e complicate. C'è un modo per capire subito se è compatto (ad esempio graficamente o ragionando sul fatto che il logaritmo è sempre positivo come il denominatore)?
2) La frontiera di E è data dall'insieme \( (x+y+3) = 0 \) $uu$ \( (0,0) \)
Anche qui a livello teorico ho capito cosa sia la frontiera ma capire se questa funzione è frontiera di E no.
3) La chiusura di E è data dall'insieme \( (x+y+3) >= 0 \)
Idem come sopra, qui sembrerebbe che corrisponda al dominio della funzione (mi sbaglio?)
Grazie mille!
Risposte
Spero di non essere troppo imprecisa, perché queste cose si perdono nella notte dei tempi, comunque... non posso essere più imprecisa del testo. L'insieme E non c'entra niente con $RR^2$, che sarà, eventualmente, il luogo dove cercarne il campo di esistenza, forse il testo corretto è $E={z=log(x+y+3)/(x^2+y^2), | (x,y) in RR^2}$
Fai attenzione a non confondere $E$ con il suo campo di esistenza, l'esercizio sembra fatto a posta per vedere se sei capace di distinguere correttamente le due cose
1) l'insieme non è limitato, il limite $lim_((x,y)->(0, -3)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2))$ tende a $-oo$
e[strike], secondo me, non è neanche chiuso, ma non lo so dimostrare, non mi viene in mente un punto per un controesempio.[/strike]
2) quella indicata non è la frontiera di E, ma quella del suo campo di esistenza
3) anche qui, quella indicata non è la chiusura di $E$, ma quella del suo campo di esistenza
Fai attenzione a non confondere $E$ con il suo campo di esistenza, l'esercizio sembra fatto a posta per vedere se sei capace di distinguere correttamente le due cose
1) l'insieme non è limitato, il limite $lim_((x,y)->(0, -3)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2))$ tende a $-oo$
e[strike], secondo me, non è neanche chiuso, ma non lo so dimostrare, non mi viene in mente un punto per un controesempio.[/strike]
2) quella indicata non è la frontiera di E, ma quella del suo campo di esistenza
3) anche qui, quella indicata non è la chiusura di $E$, ma quella del suo campo di esistenza
Se l'insieme è effettivamente
$$E:= \Biggl \{z\in \mathbb{R} : z=\frac{log(x+y+3)}{x^2+y^2}, (x,y) \in D \Biggr \}$$
con
$$ D:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y+3 >0 \wedge (x,y) \ne (0,0) \}$$
Poiché
$lim_((x,y)->(0, -3)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2)) = -\infty$ e $lim_((x,y)->(0, 0)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2)) = +\infty$
e $(log(x+y+3)/(x^2+y^2))$ è continua ove definita, direi che $E= \mathbb{R}$ e dunque è chiuso e ovviamente la sua chiusura è se stesso.
$$E:= \Biggl \{z\in \mathbb{R} : z=\frac{log(x+y+3)}{x^2+y^2}, (x,y) \in D \Biggr \}$$
con
$$ D:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y+3 >0 \wedge (x,y) \ne (0,0) \}$$
Poiché
$lim_((x,y)->(0, -3)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2)) = -\infty$ e $lim_((x,y)->(0, 0)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2)) = +\infty$
e $(log(x+y+3)/(x^2+y^2))$ è continua ove definita, direi che $E= \mathbb{R}$ e dunque è chiuso e ovviamente la sua chiusura è se stesso.
Grazie per le risposte! Vi mando il link con il testo della prova e relativa correzione del professore almeno potete vedere pure voi, ci sto ragionando sopra ma non trovo una soluzione... https://ibb.co/koUfDF
Il testo della prova è MOLTO diverso da quello che hai postato tu. E noi abbiamo risposto su quello da te postato.
In effetti non si capiva nulla da quello che hai scritto.... cosa non ti torna della soluzione?
Scusatemi molto! Ho provato un po' a scrivere usando le formule matematiche ma ho fatto un po' fatica e sono riuscito a scrivere solo quello 
Comunque i miei dubbi sono gli stessi di prima, ciò che ho scritto per i vari punti vale ancora.. Ci sono più esercizi di questa tipologia e non riesco a trasportare le nozioni teoriche nella pratica...
Comunque i miei dubbi sono gli stessi di prima, ciò che ho scritto per i vari punti vale ancora.. Ci sono più esercizi di questa tipologia e non riesco a trasportare le nozioni teoriche nella pratica...
1) L'insieme è chiuso e non limitato: Che sia non limitato è evidente. Per il fatto che sia chiuso o meno: il suo complementare è
$A=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y+3 \le 0 \} \cup (0,0) $
Che è evidentemente un insieme non aperto, infatti un qualsiasi intorno di $(0,0)$ non è contenuto in $A$. Siccome il suo complementare non è aperto, allora non può essere chiuso. La 1) è quindi falsa.
2) La frontiera dell'insieme è data da $ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y+3=0 \} \cup (0,0)$: questi sono proprio i punti che non sono né interni né esterni all'insieme e dunque sono di frontiera. (Intuitivamente sono il bordo dell'insieme, prova a fare un disegno).
3)La chiusura dell'insieme è data da $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y+3 \ge 0 \}$: vero perché è l'unione dell'insieme e della sua frontiera.
$A=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y+3 \le 0 \} \cup (0,0) $
Che è evidentemente un insieme non aperto, infatti un qualsiasi intorno di $(0,0)$ non è contenuto in $A$. Siccome il suo complementare non è aperto, allora non può essere chiuso. La 1) è quindi falsa.
2) La frontiera dell'insieme è data da $ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y+3=0 \} \cup (0,0)$: questi sono proprio i punti che non sono né interni né esterni all'insieme e dunque sono di frontiera. (Intuitivamente sono il bordo dell'insieme, prova a fare un disegno).
3)La chiusura dell'insieme è data da $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y+3 \ge 0 \}$: vero perché è l'unione dell'insieme e della sua frontiera.
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