Insieme chiuso
come si fa a dimostrare che ogni retta in R2 è un insieme chiuso??? so dimostrare che non è aperto, ma per dimostrare che è chiuso, dovrei dimostrare che il complementare è aperto. aiuto???
Risposte
Buon di.
Dici bene, applica la definizione.
Ciao
Dici bene, applica la definizione.
Ciao
eh ma il complementare della retta cos'è????
Il complementare della retta è: i punti del piano senza retta ovvero due semipiani aperti.
Forse più immediatamente si potrebbe dire:
la retta è un insieme di punti del piano del tipo: $ x+that(u) $ con t reale;
dove $hat(u)$ è un versore.
Una successione di punti della retta è del tipo: $ x+t(n)hat(u) $
Dato che un insieme è chiuso se e solo ogni successione dell' insieme che converge deve convergere a un punto dell' insieme.
Allora una successione convergente di punti della retta converge a un punto della retta stessa.
Non ti pare?
Ciao
Mino
Forse più immediatamente si potrebbe dire:
la retta è un insieme di punti del piano del tipo: $ x+that(u) $ con t reale;
dove $hat(u)$ è un versore.
Una successione di punti della retta è del tipo: $ x+t(n)hat(u) $
Dato che un insieme è chiuso se e solo ogni successione dell' insieme che converge deve convergere a un punto dell' insieme.
Allora una successione convergente di punti della retta converge a un punto della retta stessa.
Non ti pare?
Ciao
Mino
Ti ringrazio ! 
credo che userò la prima strada ! E' secondo me la più immediata concettualmente !
credo che userò la prima strada ! E' secondo me la più immediata concettualmente !
Allora dovresti considerare la distanza tra i punti della retta e un punto del suo complementare;
trovarne il minimo (o provare l' esistenza di un minimo);
far vedere che tale minimo è positivo;
applicare la definizione;
Ciao e buono studio
Mino
trovarne il minimo (o provare l' esistenza di un minimo);
far vedere che tale minimo è positivo;
applicare la definizione;
Ciao e buono studio
Mino
non basta dire che il complementare della retta è un aperto??? infatti è l'unione di due semipiani aperti,,,
Beh, dimostra che un semipiano è aperto allora! 
Io farei vedere che una retta contiene il suo derivato (che è più o meno quel che diceva Mino). Prendi un punto $P_0$ qualunque della retta e mostra che esistono altri punti della retta (distinti da $P_0$) vicini a $P_0$ quanto si vuole (ovvero dimostra che $P_0$ è di accumulazione). Ciao
Io farei vedere che una retta contiene il suo derivato (che è più o meno quel che diceva Mino). Prendi un punto $P_0$ qualunque della retta e mostra che esistono altri punti della retta (distinti da $P_0$) vicini a $P_0$ quanto si vuole (ovvero dimostra che $P_0$ è di accumulazione). Ciao
"miry77":
non basta dire che il complementare della retta è un aperto??? infatti è l'unione di due semipiani aperti,,,
Miry è esatto ciò che asserisci.
Però credo importante ed utile esercizio sia dimostrare che il semipiano aperto è un aperto di $R^2$.....
Non trovi?
Oppure in generale:
sia $ f(x):R^mrarr R $ , $ cin R $
è vero che se:
$f(x)$ è continua, l' insieme $ A={x in R^m: f(x)>c} $ è aperto.
Ora i punti di una retta in $R^2$ o di un iperpiano in $R^m$ sono le soluzioni di $ x*u=c $;
Quindi un punto y di $ R^m$ se non è soluzione di $ x*u=c $ deve realizzare una e una sola di
$ x*u>c $;
$ x*u
Un iperpiano allora divide lo spazio in 2 semispazi, aperti.
Perché l' insieme delle soluzioni di $x*u>c$ realizza le ipotesi del teorema citato ($x*u$ è un polinomio omogeneo di 1° grado in m variabili e per ciò continuo).
Quindi tutti i punti di $R^m$ che non sono dell' iperpiano sono la unione di insiemi aperti e quindi l' iperpiano è un insieme chiuso.
sia $ f(x):R^mrarr R $ , $ cin R $
è vero che se:
$f(x)$ è continua, l' insieme $ A={x in R^m: f(x)>c} $ è aperto.
Ora i punti di una retta in $R^2$ o di un iperpiano in $R^m$ sono le soluzioni di $ x*u=c $;
Quindi un punto y di $ R^m$ se non è soluzione di $ x*u=c $ deve realizzare una e una sola di
$ x*u>c $;
$ x*u
Un iperpiano allora divide lo spazio in 2 semispazi, aperti.
Perché l' insieme delle soluzioni di $x*u>c$ realizza le ipotesi del teorema citato ($x*u$ è un polinomio omogeneo di 1° grado in m variabili e per ciò continuo).
Quindi tutti i punti di $R^m$ che non sono dell' iperpiano sono la unione di insiemi aperti e quindi l' iperpiano è un insieme chiuso.
[xdom="gugo82"]Chiudo poiché thread duplicato (ed ovviamente chiudo anche il duplicato).
Come già detto altrove, alla prossima infrazione di netiquette prenderemo provvedimenti seri.[/xdom]
Come già detto altrove, alla prossima infrazione di netiquette prenderemo provvedimenti seri.[/xdom]
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