Insieme aperto
Salve a tutti. Devo dimostrare che il quadrato ${(x_1;x_2): |x_1|<1, |x_2|<1}$ è un insieme aperto. La mia idea era quella di prendere una sfera contenuta nel quadrato e dimostrare che ogni punto della sfera appartiene al quadrato. Il raggio della sfera è $r = min{1 -|x_1|, 1-|x_2|}$.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Risposte
Se \( (\bar{x}_1, \bar{x}_2) \in Q \), la palla \( B_{r}(\bar{x}_1, \bar{x}_2) \) con \( r := \min\{1 - |\bar{x}_1|, 1 - |\bar{x}_2|\} \) è tutta contenuta in \( Q \). Dove trovi difficoltà nel dimostrare questo fatto?
Ciao. Graficamente è ovvio che tale sfera è contenuta nell'insieme dato. Io volevo sapere se esiste un procedimento analitico per dimostrare questo fatto.
Ovvio che c'è! Ti invitavo a provarci da solo/a... dovrai sommare e sottrarre, usare la disuguaglianza triangolare e poi la classica disuguaglianza \( |x_i| \leq \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \) per \( i = 1,2 \). Prova e dimmi se riesci senza altri suggerimenti...
Purtroppo non ci riesco. Un procedimento simile l'ho utilizzato per dimostrare che una sfera è contenuta in un'altra (da lì proviene la mia domanda), ma li era banale. Grazie per la pazienza.
Allora... vogliamo far vedere che se \( (x_1,x_2) \in B_{r}(\bar{x}_1,\bar{x}_2) \), allora \( (x_1,x_1) \in Q \), e cioè \( |x_1| < 1 \) e \( |x_2| < 1 \). Allora, proviamo a stimare
\[
\begin{split}
|x_1| &= |x_1 - \bar{x}_1 + \bar{x}_1| \\
&\leq |\bar{x}_1| + |x_1 - \bar{x}_1| \\
&\leq |\bar{x}_1| + \sqrt{|x_1 - \bar{x}_1|^2 + |x_2 - \bar{x}_2|^2}\\
&\dots
\end{split}
\]
Come concludiamo?
\[
\begin{split}
|x_1| &= |x_1 - \bar{x}_1 + \bar{x}_1| \\
&\leq |\bar{x}_1| + |x_1 - \bar{x}_1| \\
&\leq |\bar{x}_1| + \sqrt{|x_1 - \bar{x}_1|^2 + |x_2 - \bar{x}_2|^2}\\
&\dots
\end{split}
\]
Come concludiamo?

Ciao.
Se $r = 1 - |bar(x)_1|$ allora $... < |bar(x)_1| + 1 - |bar(x)_1| = 1$. In modo analogo si prova che $|bar(x)_2|<1$ se $r = 1 - |bar(x)_2|$. Tuttavia mi chiedo se nel valutare $x_1$ possa accadere che $r = 1 - |bar(x)_2|$ (e analogamente per $x_2$). Se ciò accade come si scrive la maggiorazione ?
EDIT: ho sistemato la notazione
Se $r = 1 - |bar(x)_1|$ allora $... < |bar(x)_1| + 1 - |bar(x)_1| = 1$. In modo analogo si prova che $|bar(x)_2|<1$ se $r = 1 - |bar(x)_2|$. Tuttavia mi chiedo se nel valutare $x_1$ possa accadere che $r = 1 - |bar(x)_2|$ (e analogamente per $x_2$). Se ciò accade come si scrive la maggiorazione ?
EDIT: ho sistemato la notazione
La palla \( B_{r}(\bar{x}_1, \bar{x}_2) \) è aperta, sicché la radice quadrata che appare nell'ultima riga della mia stima è strettamente minore del raggio \( r \). In definitiva, troverai che il modulo \( |x_1| \) è strettamente minore di \( 1 \).
Si è quello che mi hai fatto ottenere (ho corretto il $<=$)
. Quindi è giusto quello che ho scritto ? E scusa se te lo richiedo, ma per $r$ bisogna distinguere sempre due casi ?

No, perché devi distinguere dei casi? La definizione di \( r \) comporta immediatamente la validità delle due disuguaglianze
\[
r \leq 1 - |\bar{x}_1|
\]
e
\[
r \leq 1 - |\bar{x}_2|.
\]
Poi, quale delle due disuguaglianze utilizzare dipende dall'esigenza che hai al momento. Per provare che \( |x_1| < 1 \) userai la prima, mentre per provare che \( |x_2| < 1 \) userai la seconda.
\[
r \leq 1 - |\bar{x}_1|
\]
e
\[
r \leq 1 - |\bar{x}_2|.
\]
Poi, quale delle due disuguaglianze utilizzare dipende dall'esigenza che hai al momento. Per provare che \( |x_1| < 1 \) userai la prima, mentre per provare che \( |x_2| < 1 \) userai la seconda.
Ok, ti ringrazio moltissimo

Figurati.
