Insieme A non misurabile?
Salve ragazzi, ho questo esempio:
$ A={(x,y) \in [0,1]X[0,1] (x e y) \in Q} $
A non è misurabile perche la frontiera non ha misura nulla.
Come posso dimostrare che essa ha misura nulla ?
$ A={(x,y) \in [0,1]X[0,1] (x e y) \in Q} $
A non è misurabile perche la frontiera non ha misura nulla.
Come posso dimostrare che essa ha misura nulla ?
Risposte
Unione numerabile di insiemi di misura nulla ha misura nulla.
Abbozzo una dimostrazione:
Siano $A_i={(p,q) | p,q \in QQ nn [0,1]^2}$ una famiglia di singoletti (disgiunti ovviamente), con $i \in NN$, chiaramente $N_n=uu_{i \leq n} A_i$, dunque $\mu(N_n)=\sum_{i \leq n}\mu(A_i)=0$ essendo somma di termini nulli passando al limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} \mu(N_n)=\mu(\lim_{n \rightarrow +\infty} N_n)=\mu(N)=0$, dunque poiché la frontiera è unione dei seguenti insiemi di misura nulla: $B_1=QQnn[0,1] \times {0}$, $B_2=QQnn[0,1] \times {1}$ , $B_3={0} \times QQnn[0,1] $ e $B_4={1} \times QQnn[0,1] $, ha misura nulla.
Abbozzo una dimostrazione:
Siano $A_i={(p,q) | p,q \in QQ nn [0,1]^2}$ una famiglia di singoletti (disgiunti ovviamente), con $i \in NN$, chiaramente $N_n=uu_{i \leq n} A_i$, dunque $\mu(N_n)=\sum_{i \leq n}\mu(A_i)=0$ essendo somma di termini nulli passando al limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} \mu(N_n)=\mu(\lim_{n \rightarrow +\infty} N_n)=\mu(N)=0$, dunque poiché la frontiera è unione dei seguenti insiemi di misura nulla: $B_1=QQnn[0,1] \times {0}$, $B_2=QQnn[0,1] \times {1}$ , $B_3={0} \times QQnn[0,1] $ e $B_4={1} \times QQnn[0,1] $, ha misura nulla.
"MementoMori":
$ A={(x,y) \in [0,1]X[0,1] (x e y) \in Q} $
A non è misurabile perche la frontiera non ha misura nulla.
Dan95 ti ha fatto vedere che qualsiasi insieme numerabile ha misura di Lebesgue nulla; dalla domanda mi sembra di capire che tu, invece, ti riferisca alla misura di Peano-Jordan.
In tal caso ti basta osservare che \(\partial A = [0,1]\times [0,1]\).
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