Insicurrezze circa le ODE di Bernoulli -e le ODE in generale
Sto smanettando con un problema di Cauchy che coinvolge le cosidette ODE di Bernoulli.
Il PdC e' il seguente:
\[\begin{cases} y' + \sin x \cdot {(y - y^3)} = 0 \\ y(0) = b \end{cases} \qquad b \in \mathbb{R}\]
e si vuole fornire una soluzione in termini di funzioni elementari.
Osservazione preliminare: sia
\[f(x,y) = -\,\sin x {(y - y^3)}\]
La funzione \(f\) e' continua su tutto il piano, ed e' di Lip. su ogni aperto limitato \(\Omega \subset \mathbb{R^2} \ni (0,b)\). Dunque, so che almeno in \(\Omega\) (dove tengono le ipotesi di continuita' e di lip.) esiste (ed e' unica) una soluzione del mio PdC.
Usando un procedimento standard per le ODE di Bernoulli mi sposto su un nuovo PdC del tipo
\[\begin{cases} z' = 2\sin{x} \cdot z - 2 \sin{x} \\ z(0) = {1}/{b^2}\end{cases} \qquad b \neq 0\]
la cui soluzione e'
\[z(x) = \exp(-2 \cos{x} + 2) \cdot \left\{ \frac{1}{b^2} + \exp(2\cos{x} - 2) - 1 \right\}\]
Via
\[z(x) = 1/{y^2}\]
riesco a scrivere una soluzione \(y\) del PdC assegnato all'inizio:
\[\left| y \right| = 1/\sqrt{z(x)}\]
Mi serve dunque che \(z(x)\) sia non nulla (voglio \(y\) continua). Un po' di calcoletti e trovo che
[list=1]
[*:1fz3wnsf]Se \(1- 1/{b^2} \ge e^{-4}\) l'intervallo in cui la soluzione \(y\) e' continua e' un aperto limitato a cavallo dello zero.[/*:1fz3wnsf]
[*:1fz3wnsf]Se \(1- 1/{b^2} < e^{-4}\) la soluzione vive su tutto l'asse reale.[/*:1fz3wnsf]
[/list:o:1fz3wnsf]
D'accordo ...ma voglio ragionarci un po' su (anche perche' quei teoremi di esistenza+unicita' non sono ancora riusciti a digerirli del tutto): a che cacchio m'e' servito ragionare sul fatto che la soluzione esistesse e fosse unica localmente? Quand'e' che mi serve usare il risultato sull'\(\exists !\) globale?
La questione che non riesco a buttare giu' e': cosa vuol dire che `esiste una soluzione locale` piuttosto che una soluzione `globale`? Non capisco se con locale/globale ci si riferisca a `loc./globalmente definita` o ad altro.
In tal caso, i teoremi relativi all'esistenza+unicita' globale (locale) mi assicurano che dato in un intervallo su cui valgono determinate ipotesi, esiste ed e' unica una soluzione al PdC definita e continua su tutto l'intervallo (rispettivamente esiste ed e' unica una soluzione definita e continua da qualche parte dell'intervallo)*.
Per come la vedo io, tanto vale verificarsi le ipotesi sulla \(\exists !\) locale -tanto sono di meno, e a me interessa solo che le soluzioni non vadano l'una sopra l'altra mentre mi avvicino al casello \((0,b)\).
Dove sbaglio?
Ringrazio
___
* Questo significa che in una ODE del tipo
\[\underline{y}' = \underline{f}(x,\underline{y})\]
se \(\underline{f}\) fosse continua e di Lip. sulla striscia \([a,b] \times \mathbb{R}^n\) mi aspetto di avere una soluzione definita e continua su tutto \([a,b]\)? E' questo banalmente cio' che s'intende con \(\exists !\) globale?
Il PdC e' il seguente:
\[\begin{cases} y' + \sin x \cdot {(y - y^3)} = 0 \\ y(0) = b \end{cases} \qquad b \in \mathbb{R}\]
e si vuole fornire una soluzione in termini di funzioni elementari.
Osservazione preliminare: sia
\[f(x,y) = -\,\sin x {(y - y^3)}\]
La funzione \(f\) e' continua su tutto il piano, ed e' di Lip. su ogni aperto limitato \(\Omega \subset \mathbb{R^2} \ni (0,b)\). Dunque, so che almeno in \(\Omega\) (dove tengono le ipotesi di continuita' e di lip.) esiste (ed e' unica) una soluzione del mio PdC.
Usando un procedimento standard per le ODE di Bernoulli mi sposto su un nuovo PdC del tipo
\[\begin{cases} z' = 2\sin{x} \cdot z - 2 \sin{x} \\ z(0) = {1}/{b^2}\end{cases} \qquad b \neq 0\]
la cui soluzione e'
\[z(x) = \exp(-2 \cos{x} + 2) \cdot \left\{ \frac{1}{b^2} + \exp(2\cos{x} - 2) - 1 \right\}\]
Via
\[z(x) = 1/{y^2}\]
riesco a scrivere una soluzione \(y\) del PdC assegnato all'inizio:
\[\left| y \right| = 1/\sqrt{z(x)}\]
Mi serve dunque che \(z(x)\) sia non nulla (voglio \(y\) continua). Un po' di calcoletti e trovo che
[list=1]
[*:1fz3wnsf]Se \(1- 1/{b^2} \ge e^{-4}\) l'intervallo in cui la soluzione \(y\) e' continua e' un aperto limitato a cavallo dello zero.[/*:1fz3wnsf]
[*:1fz3wnsf]Se \(1- 1/{b^2} < e^{-4}\) la soluzione vive su tutto l'asse reale.[/*:1fz3wnsf]
[/list:o:1fz3wnsf]
D'accordo ...ma voglio ragionarci un po' su (anche perche' quei teoremi di esistenza+unicita' non sono ancora riusciti a digerirli del tutto): a che cacchio m'e' servito ragionare sul fatto che la soluzione esistesse e fosse unica localmente? Quand'e' che mi serve usare il risultato sull'\(\exists !\) globale?
La questione che non riesco a buttare giu' e': cosa vuol dire che `esiste una soluzione locale` piuttosto che una soluzione `globale`? Non capisco se con locale/globale ci si riferisca a `loc./globalmente definita` o ad altro.
In tal caso, i teoremi relativi all'esistenza+unicita' globale (locale) mi assicurano che dato in un intervallo su cui valgono determinate ipotesi, esiste ed e' unica una soluzione al PdC definita e continua su tutto l'intervallo (rispettivamente esiste ed e' unica una soluzione definita e continua da qualche parte dell'intervallo)*.
Per come la vedo io, tanto vale verificarsi le ipotesi sulla \(\exists !\) locale -tanto sono di meno, e a me interessa solo che le soluzioni non vadano l'una sopra l'altra mentre mi avvicino al casello \((0,b)\).
Dove sbaglio?
Ringrazio
___
* Questo significa che in una ODE del tipo
\[\underline{y}' = \underline{f}(x,\underline{y})\]
se \(\underline{f}\) fosse continua e di Lip. sulla striscia \([a,b] \times \mathbb{R}^n\) mi aspetto di avere una soluzione definita e continua su tutto \([a,b]\)? E' questo banalmente cio' che s'intende con \(\exists !\) globale?
Risposte
Ma c'è un meno messo a casaccio o sbaglio?
"gugo82":
Ma c'è un meno messo a casaccio o sbaglio?
Corretto errore nell'espressione della ODE.
Ciao!
Allora... io studio Ingegneria e mi sto preparando per un esame di Equazioni differenziali, quindi la risposta alla tua domanda interesserebbe molto anche a me! Soprattutto perché manca una settimana
La distinzione fra i due teoremi mi sembra una questione un po' sottile, ma da quel che ho capito io:
( 1- il t. esistenza (di Peano) serve a garantire l'esistenza di una soluzione, e ok )
2) il t. esistenza unicità LOCALE serve a garantire che nell'intorno aperto di un punto $(a,b)$ esista una e una sola funzione passante per il punto che soddisfi l'equazione, cioè per trovare un'altra soluzione dell'equazione bisogna per forza assegnare un altro punto (in quell'intorno).
3) il t. esistenza unicità GLOBALE è praticamente un teorema di prolungamento: serve quando, per una soluzione definita localmente, voglio sapere se rispetta equazione+P.Cauchy in un intervallo $[a,b]$ arbitrario (chiuso): cioè, fino a dove posso mettere il mio punto di Cauchy affinché questa funzione sia ancora soluzione?
Mi sembra di capire che i problemi qui ci sono se la funzione y candidata soluzione ha un asintoto verticale per $x to x_0$. Il significato fisico sarebbe che, se $x$ è il tempo, allora nel punto di asintoto il sistema subisce un "evento catastrofico"... Ma qual è il significato matematico preciso di questa condizione?? Che ripercussioni avrebbe su $y'$ (e cioè sulla funzione $y' = f(x,y)$)?
Correggetemi se ho sbagliato!
Allora... io studio Ingegneria e mi sto preparando per un esame di Equazioni differenziali, quindi la risposta alla tua domanda interesserebbe molto anche a me! Soprattutto perché manca una settimana
La distinzione fra i due teoremi mi sembra una questione un po' sottile, ma da quel che ho capito io:
( 1- il t. esistenza (di Peano) serve a garantire l'esistenza di una soluzione, e ok )
2) il t. esistenza unicità LOCALE serve a garantire che nell'intorno aperto di un punto $(a,b)$ esista una e una sola funzione passante per il punto che soddisfi l'equazione, cioè per trovare un'altra soluzione dell'equazione bisogna per forza assegnare un altro punto (in quell'intorno).
3) il t. esistenza unicità GLOBALE è praticamente un teorema di prolungamento: serve quando, per una soluzione definita localmente, voglio sapere se rispetta equazione+P.Cauchy in un intervallo $[a,b]$ arbitrario (chiuso): cioè, fino a dove posso mettere il mio punto di Cauchy affinché questa funzione sia ancora soluzione?
Mi sembra di capire che i problemi qui ci sono se la funzione y candidata soluzione ha un asintoto verticale per $x to x_0$. Il significato fisico sarebbe che, se $x$ è il tempo, allora nel punto di asintoto il sistema subisce un "evento catastrofico"... Ma qual è il significato matematico preciso di questa condizione?? Che ripercussioni avrebbe su $y'$ (e cioè sulla funzione $y' = f(x,y)$)?
Correggetemi se ho sbagliato!
Utenti più esperti!! nessuno che possa risolvere i nostri dubbi??
Le giovani leve dell'analisi (circa
) hanno bisogno di voi!!
Le giovani leve dell'analisi (circa
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"Gendarmevariante":
3) il t. esistenza unicità GLOBALE è praticamente un teorema di prolungamento: serve quando, per una soluzione definita localmente, voglio sapere se rispetta equazione+P.Cauchy in un intervallo $[a,b]$ arbitrario (chiuso): cioè, fino a dove posso mettere il mio punto di Cauchy affinché questa funzione sia ancora soluzione?
Non capisco cosa intendi con teorema di prolungamento. Quando vale il teorema di esistenza e unicita' su tutto un intervallo \(J\) sai che (sempre riuscendo a calcolarla), avrai una soluzione definita con continuita' su tutto l'intervallo \(J\). Altrimenti, dovrai accontentarti di essere sicuro che almeno in piccolo esiste la soluzione del PdC, per ogni \(x_0, \underline{y}_0\) fissati in \(J\).
Poi, in particolare, potresti riuscire a prolungarla, agganciandoti ad un'altra soluzione che ti permetta di mantenere la continuita' della derivata della soluzione, costruendo quello che il teorema non ti permetteva di dire a priori (cioe' che esiste ed e' unica la soluzione a livello globale).
Credo che prolungabilita' di una soluzione sia un risultato che abbia poco a che fare con quanto ti viene garantito dagli ultimi due teoremoni che hai postato; piuttosto una caratteristica della funzione in esame (ma soprattutto della funzione che ci sara' nell'esame.
)
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