Input integrale con formule fondamentali

[Marco Beta2]

Ciao a tutti, l'ultimo integrale della giornata mi sta dando qualche problema e vorrei avere un input per terminarlo; il mio procedimento è il seguente:

$ int (sqrt(x))/(x*sqrt(1-2x)) dx = int(1/sqrt(x))*1/(sqrt(1-2x)) $

adesso dovrei applicare la formula dell'arcosen $int f'(x)*1/(sqrt(1-(fx)^2))$ ed ottenere $ sqrt2 arcesn sqrt(2x) + c$ come da libro...

Ogni aiuto e/o spiegazione è benaccetto/a.
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Marco Beta2,

Farei così:

$ \int (sqrt(x))/(x sqrt(1-2x)) dx = \int (sqrt(x))/(x sqrt(1-(\sqrt{2x})^2)) dx = \sqrt{2} \int 1/(sqrt{2x} sqrt(1-(\sqrt{2x})^2)) dx = \sqrt{2} arcsin(\sqrt{2x}) + c $

essendo l'ultimo integrale scritto del tipo $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} dx = arcsin[f(x)] + c $ con $f(x) := \sqrt{2x} $

[Marco Beta2]

"pilloeffe":Ciao Marco Beta2,

Farei così:

$ \int (sqrt(x))/(x sqrt(1-2x)) dx = \int (sqrt(x))/(x sqrt(1-(\sqrt{2x})^2)) dx = \sqrt{2} \int 1/(sqrt{2x} sqrt(1-(\sqrt{2x})^2)) dx = \sqrt{2} arcsin(\sqrt{2x}) + c $

essendo l'ultimo integrale scritto del tipo $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} dx = arcsin[f(x)] + c $ con $f(x) := \sqrt{2x} $

pilloeffe grazie per avermi risposto... vorrei chiederti delle info sul terzo passaggio; vorrei sapere $sqrt 2$ al numeratore e $sqrt (2x)$ al denominatore come li hai ottenuti.

[pilloeffe]

"Marco Beta2":pilloeffe grazie per avermi risposto...

Prego!

"Marco Beta2":vorrei chiederti delle info sul terzo passaggio [...]

Beh, semplificando la $x$ a denominatore con $\sqrt{x} $ al numeratore rimane $\sqrt{x} $ al denominatore, poi siccome sotto la radice quadrata a denominatore compare $\sqrt{2x} $ ho fatto in modo che la stessa funzione comparisse anche davanti a quella radice quadrata e per far questo senza alterare il risultato è stato necessario moltiplicare l'integrale per $\sqrt{2} $

[Marco Beta2]

"pilloeffe":[quote="Marco Beta2"]pilloeffe grazie per avermi risposto...

Prego!

"Marco Beta2":vorrei chiederti delle info sul terzo passaggio [...]

Beh, semplificando la $x$ a denominatore ... $[/quote]

grazie per la spiegazione pilloeffe, ho capito il procedimento, sei stato chiarissimo nello spiegarlo, però continua a sfuggirmi qualcosa... non capisco perche $sqrt(2)$ e non $sqrt(2x)$... non hai applicato il concetto del "se moltiplico devo anche dividere per la stessa quantità"?
grazie e scusami per le richieste

[pilloeffe]

"Marco Beta2":non capisco perche $\sqrt{2} $ e non $\sqrt{2x} $... non hai applicato il concetto del "se moltiplico devo anche dividere per la stessa quantità"?

Esatto, ma al denominatore $\sqrt{x} $ c'è già, quindi per farlo diventare $\sqrt{2x} $, che è ciò che mi serve, senza alterare il risultato, ho moltiplicato per $\sqrt{2} $

[Marco Beta2]

"pilloeffe":[quote="Marco Beta2"]non capisco perche $\sqrt{2} $ e non $\sqrt{2x} $... non hai applicato il concetto del "se moltiplico devo anche dividere per la stessa quantità"?

Esatto, ma al denominatore $\sqrt{x} $ c'è già, quindi per farlo diventare $\sqrt{2x} $, che è ciò che mi serve, senza alterare il risultato, ho moltiplicato per $\sqrt{2} $[/quote]
vediamo un pò se ho capito...
$int sqrt (x)/(x*sqrt(1-(sqrt(2x))^2)) dx$ e vado a semplificare le $x$ al numeratore e al denominatore ed ottengo $sqrt(x)/x = 1/(sqrt(x))$ e quindi $ sqrt(2) int 1/(sqrt(x)*sqrt(2)*(sqrt(1-(sqrt(2x))^2))) dx$ (moltiplicato e diviso per la stessa quantità) $ sqrt(2)int 1/(sqrt(2x)*(sqrt(1-(sqrt(2x))^2))) dx$

ho capito il tuo ragionamento spero di averlo concretizzato bene...

[pilloeffe]

"Marco Beta2":ho capito il tuo ragionamento spero di averlo concretizzato bene...

a parte quel $dx $ a denominatore...

[Marco Beta2]

"pilloeffe":[quote="Marco Beta2"]ho capito il tuo ragionamento spero di averlo concretizzato bene...

a parte quel $dx $ a denominatore... [/quote]

corretto

Grazie mille per la disponibilità