Iniettività e suriettività di applicazione ||T||<1 in Banach
Sia $X$ uno spazio di Banach e sia $T:X->X$ lineare e continua. Se $||T||<1$ allora l'applicazione $(\I -T):X->X$ (dove $\I$ è l'applicazione identità) è
$1.$ Continua perché composizione di applicazioni continue.
$2.$ Lineare per lo stesso motivo.
$3.$ Iniettiva. $||Tx-Ty||<=||T(x-y)||<=||T||||x-y||$ con $||T||<=1$, e $T$ è proprio la costante $<1$ che rende l'applicazione $T$ stessa una contrazione. Ora, $T$ è una contrazione in uno spazio di Banach quindi ammette un unico punto $x \in X$ tale che $Tx=x$. Fino a qui ci sono. Poi nella dimostrazione dice, essendo $T$ lineare l'equazione precedente ammette la soluzione nulla (
) che risulta quindi unica, e l'operatore $(\I-T)$ risulta iniettivo ( ).
$4.$ Suriettiva. Fissiamo un $y \in X $ e consideriamo l'applicazione $y=(1-T)x=x-Tx$ che riscriviamo come funzione di $x$ spostando a sinistra il termine $Tx$, quindi: $f(x)=Tx+y$. L'applicazione $f(x)$ è a sua volta una contrazione dato che $||f(x)-f(x^{,})||=||Tx-Tx^{,}||=||T(x-x^{,})||<=||T||||x-x^{,}||$ per cui esiste un punto fisso, un unico $x$ per cui $Tx+y=f(x)=x$. Ora, dal teorema di Banach-Caccioppoli(=B.C.) l'esistenza del punto fisso è garantita, quindi variando di volta in volta il punto $y \in X$ e si ha $\forall y \in X\ \exists x \in X : (\I-T)x=y$ (ovvero la definizione di suriettività), ma il teorema (B.C.) dice anche che questo punto è unico e quindi quindi $\forall y \in X !\ \exists x \in X : (\I-T)x=y$ e se in $y$ arriva solamente un punto $x$ a partire dalla funzione, non è garantita anche l'iniettività?
$5.$ Dopo avere verificato la disuguaglianza $||(\I-T)^{-1}||<=\frac{1}{1-||T||}$ che limita l'operatre inverso (e quindi lo rende continuo) dice di fare riferimento alla dimostrazione di B.C. per capire la seguente: partendo da un punto iniziale $x_0$ ho
$x_1=y+Tx_0$
$x_2=y+Tx_1=y+Ty+T^2x_0$
$...$
$x_n=y+...T^{n}x_0$
Poi dice "sapendo che $T^nx_0$ converge al punto fisso di $T$, che è nullo, abbiamo dato un significato operativo di convergenza alla serie operatoriale, dette anche serie di Neumann: $\I+T+T^2+T^3$..."
Ora, questa parte nel teorema di B.C. viene usata per dimostrare il fatto che il punto enunciato nel teorema di quest'ultimo esiste. Quì $T$ è una contrazione ed è continua, passando quindi al limite (limite nel senso del limite definito per una serie allora) il risultato del limite è in questo caso $x=0$. Ma come si scrive questo passaggio al limite? $y\sum_{n=0}^{\infty}T^n=0$ quando $||T||<1$?
Il punto 3 e 5 non mi sono proprio chiari.
$1.$ Continua perché composizione di applicazioni continue.
$2.$ Lineare per lo stesso motivo.
$3.$ Iniettiva. $||Tx-Ty||<=||T(x-y)||<=||T||||x-y||$ con $||T||<=1$, e $T$ è proprio la costante $<1$ che rende l'applicazione $T$ stessa una contrazione. Ora, $T$ è una contrazione in uno spazio di Banach quindi ammette un unico punto $x \in X$ tale che $Tx=x$. Fino a qui ci sono. Poi nella dimostrazione dice, essendo $T$ lineare l'equazione precedente ammette la soluzione nulla (
) che risulta quindi unica, e l'operatore $(\I-T)$ risulta iniettivo ( ).$4.$ Suriettiva. Fissiamo un $y \in X $ e consideriamo l'applicazione $y=(1-T)x=x-Tx$ che riscriviamo come funzione di $x$ spostando a sinistra il termine $Tx$, quindi: $f(x)=Tx+y$. L'applicazione $f(x)$ è a sua volta una contrazione dato che $||f(x)-f(x^{,})||=||Tx-Tx^{,}||=||T(x-x^{,})||<=||T||||x-x^{,}||$ per cui esiste un punto fisso, un unico $x$ per cui $Tx+y=f(x)=x$. Ora, dal teorema di Banach-Caccioppoli(=B.C.) l'esistenza del punto fisso è garantita, quindi variando di volta in volta il punto $y \in X$ e si ha $\forall y \in X\ \exists x \in X : (\I-T)x=y$ (ovvero la definizione di suriettività), ma il teorema (B.C.) dice anche che questo punto è unico e quindi quindi $\forall y \in X !\ \exists x \in X : (\I-T)x=y$ e se in $y$ arriva solamente un punto $x$ a partire dalla funzione, non è garantita anche l'iniettività?
$5.$ Dopo avere verificato la disuguaglianza $||(\I-T)^{-1}||<=\frac{1}{1-||T||}$ che limita l'operatre inverso (e quindi lo rende continuo) dice di fare riferimento alla dimostrazione di B.C. per capire la seguente: partendo da un punto iniziale $x_0$ ho
$x_1=y+Tx_0$
$x_2=y+Tx_1=y+Ty+T^2x_0$
$...$
$x_n=y+...T^{n}x_0$
Poi dice "sapendo che $T^nx_0$ converge al punto fisso di $T$, che è nullo, abbiamo dato un significato operativo di convergenza alla serie operatoriale, dette anche serie di Neumann: $\I+T+T^2+T^3$..."
Ora, questa parte nel teorema di B.C. viene usata per dimostrare il fatto che il punto enunciato nel teorema di quest'ultimo esiste. Quì $T$ è una contrazione ed è continua, passando quindi al limite (limite nel senso del limite definito per una serie allora) il risultato del limite è in questo caso $x=0$. Ma come si scrive questo passaggio al limite? $y\sum_{n=0}^{\infty}T^n=0$ quando $||T||<1$?
Il punto 3 e 5 non mi sono proprio chiari.
Risposte
"5mrkv":
Poi nella dimostrazione dice, essendo $T$ lineare l'equazione precedente ammette la soluzione nulla (
Poiché $T$ è lineare, $T0=0$; se c'è un solo punto fisso, questo è dunque $0$.
Per l'iniettività: se $(I-T)x = (I-T)y$, allora $x-y = T(x-y)$, cioè $x-y$ è un punto fisso di $T$. Per quanto detto sopra, si deve avere $x-y=0$, cioè $x=y$, dunque $I-T$ è iniettivo.
... Poi dice "sapendo che $T^nx_0$ converge al punto fisso di $T$, che è nullo, abbiamo dato un significato operativo di convergenza alla serie operatoriale, dette anche serie di Neumann: $\I+T+T^2+T^3$..."
Hai che \( x_n = S_n y + T^n x_0 \), con \( S_n y := \sum_{k=0}^{n} T^k y\). Poiché sai che $x_n \to x$ con $x = f(x) = y + Tx$, e che $T^n x_0 \to 0$, passando al limite ottieni \( x = S y\), dove \( S y = \sum_{k=0}^{\infty} T^k y\).
Grazie. Ancora non mi è chiara la parte sullo zero e sulla linearità. Perché si parte dal presupposto che lo zero sia soluzione? Perché come soluzione è sempre garantita? A quale proprietà delle applicazioni lineari si fa riferimento. Omogeneità?
Beh, qualsiasi applicazione lineare è nulla in $0$:
\( T0 = T(x-x) = Tx - Tx = 0\) per ogni $x$.
\( T0 = T(x-x) = Tx - Tx = 0\) per ogni $x$.
Ok. Grazie 
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