Iniettivitá e limitatezza di una funzione.

[handuup]

Buonasera. Ho da fare questo esercizio: $y = (2x)/(x^(2)+1)$ dimostrare che è limitata è dire se è Iniettiva. Per quanto riguarda l'iniettività ci sto provando ma non so come fare a dimostrare la limitatezza. So che una funzione è limitata quando essa è compresa tra 2 rette y= c è y= -c. Come faccio?

[handuup]

P.S. Graficamente lo so fare ed è facilissimo. Siccome non siamo ancora arrivati a fare i grafici delle funzioni mi sembra che lo devo fare analiticamente. Inoltre nell'esercizio c'è scritto che non si richiede il grafico ma solo di rispondere alle domande.

[feddy]

Per l'iniettività prova a usare la contronominale della definizione: supponi esistano $x_1,x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$, allora se trovi che $f(x_1)=f(x_2)$ la $f$ è iniettiva, altrimenti non lo è.

Per la limitatezza la cosa più furba da fare secondo me è provare a fare i limiti per $x \rarr \infty$ e vedere che ci sono due asintoti orizzontali, $y=1, y= -1$, perciò $f(RR) \subset [-1,1]$, da cui la limitatezza

[pilloeffe]

Ciao feddy,


La funzione $ y = (2x)/(x^(2)+1) $ ha un solo asintoto orizzontale, $y = 0 $...

[feddy]

Oddio, grazie pilloeffe, evidentemente ho preso un'abbaglio. Intendevo dire che la funzione presenta un massimo, che è $1$ e un minimo, che è $-1$.

[handuup]

grazie per le risposte

[dissonance]

"feddy":Oddio, grazie pilloeffe, evidentemente ho preso un'abbaglio. Intendevo dire che la funzione presenta un massimo, che è $1$ e un minimo, che è $-1$.

Ma queste cose vanno dimostrate. La maniera migliore è anche la più semplice, non occorrono derivate, ci si può ricondurre al discriminante di un polinomio di secondo grado

[dissonance]

Mi spiego. Come l'OP ha detto, bisogna dimostrare che esiste \(c\) tale che \(-c\le y\le c\), con \(c\ge 0\). Cominciamo a dimostrare \(y\le c\). Sostituendo \(f=\frac{2x}{x^2+1}\) si trova la disequazione
\[
2x\le cx^2+c.\]
Ovvero \(cx^2-2x+c\ge 0\). Quando un polinomio di secondo grado è non negativo? Quando il coefficiente del termine di secondo grado è positivo e il discriminante è negativo. In questo caso il coefficiente di secondo grado è \(c\ge 0\) quindi resta da verificare il discriminante che è
\[
\Delta=4-4c^2.\]
La disequazione \(\Delta \le 0\) ha per soluzione \(c\ge 1\). E quindi, per qualsiasi \(c\ge 1\), abbiamo dimostrato che \(y\le c\).

Adesso si ripete tutto con \(-c\), trovando di nuovo \(c \ge 1\). CONCLUSIONE: valgono le disuguaglianze
\[
-1\le f(x)\le 1, \]
quindi \(f\) è limitata.