Iniettività di una funzione

[Obidream]

Salve a tutti, ho qualche dubbio su come verificare l'iniettività di questa funzione: $f(x)=log(x-sqrt(x))$

Osservo che $dom(f)=[1,+oo)$, poi sapendo che il logaritmo è una funzione iniettiva, devo verificare che lo sia la funzione più interna quindi $g(x)=x-sqrt(x)$

Per fare questo potrei dire che per $x>1$, $x=sqrt(x)$ non è mai soddisfatta?

[Kashaman]

"Obidream":Salve a tutti, ho qualche dubbio su come verificare l'iniettività di questa funzione: $f(x)=log(x-sqrt(x))$

Osservo che $dom(f)=[1,+oo)$, poi sapendo che il logaritmo è una funzione iniettiva, devo verificare che lo sia la funzione più interna quindi $g(x)=x-sqrt(x)$

Per fare questo potrei dire che per $x>1$, $x=sqrt(x)$ non è mai soddisfatta?

come mai vuoi dire che $x=\sqrtx$ non è mai soddisfatta? Non proveresti di certo l'iniettività.
Alla fin fine tu hai due funzioni.
$g(x)=log(x)$ , $h(x)=x-sqrtx$ la tua $f$ non è nient'altro che $f(x)=(g*h)(x)=g(h(x))$ la quale è una funzione che va da $[1,+\infty[ -> RR$.
Prova rispondere a queste domande e a trarne delle conclusioni :
1) $g$ è monotona?
2) $h$ è monotona?
3) come è $g*h$?

se $g*h$ è monotona hai a gratis l'iniettività.
Infatti,si dimostra che se $f,g$ funzioni reali sono monotone allora sono iniettive. (la dimostrazione è banale)

ciao

[Palliit]

Ciao. Il dominio di $f$ è $"]"1, +infty[$ ; per $x>1$ l'argomento del logaritmo è strettamente crescente (la funzione $g(x)=x-sqrt(x)$ ha il suo minimo assoluto per $x=1/4$, basta derivarla per rendersene conto). Il logaritmo pure, quindi $f(x)$ è strettamente crescente in quanto composta di due funzioni che lo sono. Quindi è iniettiva.

EDIT: scusa Kashaman per la quasi simultaneità...

[Obidream]

Grazie ad entrambi, l'idea malsana che avevo era quella di dire.. siccome $x=sqrt(x)$ non è mai soddisfatta per $x>1$ allora non potrò mai trovare $x_1$ ed $x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2$)...