Iniettività dell'esponenziale complesso
Sia $f(t)=e^((2+3i)t)$:$R->C$
Si provi che f(t) è iniettiva.
Per dimostrarlo ho visto che $f(t_1)=f(t_2)=> t_1 = t_2$ , ma ci vuole un sacco...
Immagino quindi che ci sia qualche altra soluzione più breve e brillante...
Si provi che f(t) è iniettiva.
Per dimostrarlo ho visto che $f(t_1)=f(t_2)=> t_1 = t_2$ , ma ci vuole un sacco...
Immagino quindi che ci sia qualche altra soluzione più breve e brillante...
Risposte
infatti la funzione esponenziale complessa NON è iniettiva!!!
te ne puoi accorgere subito vedendo che $e^((2+3i)t)=e^((2+3i)t+2kipi)$ con k appartenente a $ZZ$
te ne puoi accorgere subito vedendo che $e^((2+3i)t)=e^((2+3i)t+2kipi)$ con k appartenente a $ZZ$
"Cantaro86":
infatti la funzione esponenziale complessa NON è iniettiva!!!
te ne puoi accorgere subito vedendo che $e^((2+3i)t)=e^((2+3i)t+2kipi)$ con k appartenente a $ZZ$
Quello che dici è vero, però io posso agire SOLO sulla variabile t, non posso aggiungere a mio piacimento all'esponente $2kipi$ con k appartenente a $ZZ$
Quindi la funzione f(t) da $RR$ in $CC$ è effettivamente iniettiva!!!!!
si ... hai ragione 
in effetti pensando all'esponenziale complessa non ho fatto caso che nell'argomento della funzione c'era anche una parte reale
in effetti pensando all'esponenziale complessa non ho fatto caso che nell'argomento della funzione c'era anche una parte reale
"Mondo":
Sia $f(t)=e^((2+3i)t)$:$R->C$
Si provi che f(t) è iniettiva.
Per dimostrarlo ho visto che $f(t_1)=f(t_2)=> t_1 = t_2$ , ma ci vuole un sacco...
Immagino quindi che ci sia qualche altra soluzione più breve e brillante...
Mi pare che il tuo approccio non sia cosí lungo. Provo a ripercorrerlo:
$f(t_1)=f(t_2), \quad e^((2+3i)t_1) = e^((2+3i)t_2), \quad e^(2t_1)e^(3it_1) = e^(2t_2)e^(3it_2)$ (1)
dove in ciascun membro il primo esponenziale rappresenta il modulo del numero complesso mentre il secondo dà solo un contributo relativo alla fase. Affinché due numeri complessi siano uguali devono avere stesso modulo e stessa fase, quindi è necessario che sia
$e^(2t_1) = e^(2t_2)$
e questa è un'equazione in campo reale dove l'esponenziale è una funzione biunivoca e quindi l'unica soluzione possibile è $t_1=t_2$.
Di conseguenza la tua funzione di partenza è iniettiva.
Si, hai ragione, il procedimento è quello, ma (furbamente 
) avevo pensato di scrivere $e^((2+3i)t)$ in forma algebrica e quindi prima di arrivare alla famigerata uguaglianza $t_1=t_2$ mi ci voleva una vita.
Grazie mille!!
) avevo pensato di scrivere $e^((2+3i)t)$ in forma algebrica e quindi prima di arrivare alla famigerata uguaglianza $t_1=t_2$ mi ci voleva una vita.Grazie mille!!
Di niente.
Buono studio!
Buono studio!
Puoi ragionare anche un po' meno formalmente come segue.
Come noto, la restrizione dell'esponenziale complesso all'asse reale del piano di Gauss è iniettiva; visto che la moltiplicazione per il numero complesso $2+3i=sqrt(13)*e^(i*arctg(3/2))$ rappresenta, geometricamente, una rotazione d'angolo $theta=arctg(3/2)$ seguita da una omotetia di fattore $K=sqrt(13)$ (entrambe con centro in $0$), essa è una funzione biiettiva di $CC$ in sè che trasforma l'asse reale nella retta $(2+3i)*t$; la funzione $e^((2+3i)*t)$ è composta da due applicazioni inettive ed è perciò iniettiva.
Mi pare funzioni bene anche questa, no?
Come noto, la restrizione dell'esponenziale complesso all'asse reale del piano di Gauss è iniettiva; visto che la moltiplicazione per il numero complesso $2+3i=sqrt(13)*e^(i*arctg(3/2))$ rappresenta, geometricamente, una rotazione d'angolo $theta=arctg(3/2)$ seguita da una omotetia di fattore $K=sqrt(13)$ (entrambe con centro in $0$), essa è una funzione biiettiva di $CC$ in sè che trasforma l'asse reale nella retta $(2+3i)*t$; la funzione $e^((2+3i)*t)$ è composta da due applicazioni inettive ed è perciò iniettiva.
Mi pare funzioni bene anche questa, no?
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