Iniettività della funzione seno nei complessi

[irelimax]

Salve a tutti, sto cercando di dimostrare dove la funzione $sen(z)$, con $z \in C$ è iniettiva.
Prima studio quando $sen(z)=sen(w)$ con $z=x+iy$ e $w=u+iv$. Facendo tutti i passaggi e considerando la periodicità della funzione seno, trovo che $x=u+2k \pi$ e $y=v$ con $k \in Z$ cioè $z$ e $w$ stanno su una retta ad altezza $Im(z)$ e distano di multipli di $2 \pi$.
Poi studio quando $sen(z)$ è un numero reale ed esso lo è per $y=0$ oppure $x=\frac{\pi}{2} + k \pi$, dopo studio quando $sen(z)$ è un numero immaginario puro e trovo che questo è vero per rette del tipo $x=0+k \pi$. Come faccio da questo a dedurre che la funzione è iniettiva nell'intervallo $(-\pi/2, pi/2) \times R$?

[irelimax]

mmm nessun suggerimento? per l'intervallo $(- pi/2, pi/2)$ è come se si prendesse l'intersezione di $(-pi,pi)$ cioè dove la funzione seno è iniettiva in $R$ con la striscia verticale dove il $sen(z)$ è reale e per la parte immaginaria prende tutto l'asse immaginario ottenuto per $k=0$ nelle soluzioni di $sen(x) \in iR$, ma non capisco perchè. Posso intuire perchè prende l'intervallo aperto $(- pi/2, pi/2)$ ma poi non mi è chiaro perchè allora studia prima $sen(z)=sen(w)$ e perchè devo prendere il cartesiano $R$, forse perchè è la retta $x=0+k \pi$ corrispondente contenuta in $(- pi/2, pi/2)$? Ma perchè lì il seno è iniettivo?
Ringrazio chiunque cerchi di tirarmi un salvagente