Iniettività

[Meetmat]

Se ho $ f:Omega sub RR^r->RR^n $ invertibile con inversa $ f^-1 $ , mi potete spiegare questa cosa:

Derivando l'identità $ f^-1(f(x))=x ,AAx in Omega $ con la regola della catena si ottiene $ D(f^-1(f(x))D(f(x))=Id $ per ogni $ x in Omega $ perciò $ D(f(x)):RR^r->RR^n $ è iniettiva.

Non riesco veramente a capire il perchè dell'ultima affermazione "perciò $ D(f(x)):RR^r->RR^n $ è iniettiva". Non credo sia nulla di difficile ma non riesco davvero a vederlo e siccome nel testo viene ripresa questa affermazione vorrei capirla.
Grazie.

[stormy1]

le funzioni inverse sono iniettive

[Meetmat]

Si ok. Però non qui non sta dicendo che la funzione inversa è iniettiva ma che $ Df(x) $ (la matrice jacobiana) è iniettiva.

[stormy1]

e infatti io a quella mi sto riferendo

[Meetmat]

Come fai a dire che è invertibile $ Df(x) $ ?

[stormy1]

se vedi quello che hai scritto nel primo post,puoi osservare che $Df(x)$ è l'inversa di una funzione

[Meetmat]

ah si certo hai ragione. Per il fatto che sia da $ RR^r->RR^n $ come posso fare a dedurlo? Grazie ancora.

[stormy1]

non importa che tu stia in $R^r$ e $R^n$
in qualsiasi spazio ti metta,le funzioni inverse sono necessariamente iniettive

[Meetmat]

Mi sa che mi sono espresso male, intendevo dire come faccio a sapere che va da $ RR^r->RR^n $ e non ad esempio da $ RR^n->RR^r $ ?

[stormy1]

perchè $f:mathbbR^r rarr mathbbR^n$

[Meetmat]

ok pensavo a qualcos'altro. Grazie mille.