Inf/sup di una funzione di 3 variabili
Ciao a tutti! Ho questo esercizio di cui volevo esporre il ragionamento
"Determinare estremo inferiore/superiore di $f(x,y,z)=(xy)/(1+x^2+y^4+z^6)$ al variare di $(x,y,z) in RR^3$, precisando se si tratta rispettivamente di min/max."
Io ho iniziato a ragionare cosi: intanto a provato a calcolare il limite a più infinito e questo dovrebbe fare zero. Ho posto $abs(y)=sqrt(u), z=w^(1/3)$, ottenendo $f(x,u,w)=(xsqrt(u))/(1+x^2+u^2+w^2)$ e passando in coordinate sferiche ottengo che $abs(f(x,u,w))$ ha limite 0.
Ho osservato inoltre che la funzione assume valori sia positivi che negativi ed è continua. Avendo dimostrato l'esistenza del limite 0 all'infinito essa dovrebbe ammettere sia massimo che minimo(che posso poi ricercare tra i punti stazionari). Penso che come ragionamento possa andare
Volevo ,però, formalizzare meglio che una funzione a valori positivi/negativi, continua che ha limite 0 all'infinito ammette max/min
"Determinare estremo inferiore/superiore di $f(x,y,z)=(xy)/(1+x^2+y^4+z^6)$ al variare di $(x,y,z) in RR^3$, precisando se si tratta rispettivamente di min/max."
Io ho iniziato a ragionare cosi: intanto a provato a calcolare il limite a più infinito e questo dovrebbe fare zero. Ho posto $abs(y)=sqrt(u), z=w^(1/3)$, ottenendo $f(x,u,w)=(xsqrt(u))/(1+x^2+u^2+w^2)$ e passando in coordinate sferiche ottengo che $abs(f(x,u,w))$ ha limite 0.
Ho osservato inoltre che la funzione assume valori sia positivi che negativi ed è continua. Avendo dimostrato l'esistenza del limite 0 all'infinito essa dovrebbe ammettere sia massimo che minimo(che posso poi ricercare tra i punti stazionari). Penso che come ragionamento possa andare
Volevo ,però, formalizzare meglio che una funzione a valori positivi/negativi, continua che ha limite 0 all'infinito ammette max/min
Risposte
Ti dimostro che se una funzione continua ha limite nullo all'infinito e in un punto assume un valore positivo allora essa ammette massimo, se consideri la funzione opposta hai lo stesso risultato con il minimo.
Sia $f:RR^n->RR$ continua t.c. $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ e $f(x_0)=a>0$, per definizione di limite all'infinito $EER$ t.c. $||x||>R=>f(x) Se non è chiaro qualche passaggio chiedi pure.
Sia $f:RR^n->RR$ continua t.c. $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ e $f(x_0)=a>0$, per definizione di limite all'infinito $EER$ t.c. $||x||>R=>f(x) Se non è chiaro qualche passaggio chiedi pure.
Grazie! Poi lo rivedo per bene 
Immaginavo che in qualche modo si potesse "riciclare" quello che si fa con funzioni di una variabile.
Formalizzato ciò, il discorso che ho fatto sopra regge?
Immaginavo che in qualche modo si potesse "riciclare" quello che si fa con funzioni di una variabile.
Formalizzato ciò, il discorso che ho fatto sopra regge?
Si, a quel punto sai che esistono, ma l'esercizio ti chiede anche di trovarli.
Si certo. Li posso trovare tra quelli che annullano il gradiente di f
Grazie!
Grazie!
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