Informazioni su limite di succesisoni infinitesime

[Sk_Anonymous]

Perchè se $a_n$ tende a 0 più velocemente di $b_n$ il rapporto $a_n$/$b_n$ tende a 0 quando $n$ tende a 0? Gradirei una spiegazione pratica/grafica più che teorica, grazie

[pater46]

$0$ non è un punto di accumulazione in $NN$, ergo non può esistere il limite per $ n -> 0 $.

Stai bene attento che $a_n$ tende a zero quando $lim_{n->oo} a_n = 0$, non quando $n->0$! Nella situazione che tu hai descritto si ha che se $a_n$ tende a 0 più velocemente di $b_n$, allora $a_n/b_n$ tende a 0 per $n->oo$!

[Sk_Anonymous]

Quello che ho detto (cioè n tende a 0) è scritto su wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica

[pater46]

Ecco una buona motivazione per non fidarsi troppo di wikipedia.

Puoi considerare infinitesimi tra le funzioni, non successioni.

[Sk_Anonymous]

"pater46":Ecco una buona motivazione per non fidarsi troppo di wikipedia.

Puoi considerare infinitesimi tra le funzioni, non successioni.

ciao, sono d'accordo con quello che dici, e cioè che n deve tendere all'infinito, lascia stare quello che ho scritto sopra, rifaccio la domanda: il professore ci ha fatto il seguente esempio, dicendo di calcolare il limite per x che tende a 0 della funzione $x+x^2+x^3$. Le parole che ha detto sono:" poichè x tende a 0, mi tengo solo la x (poichè va a zero più lentamente) e trascuro le altre potenze, quindi l'espressione, per x che tende a 0, è: x+o(x)=x(1+o(1)). Quello che non mi è ben chiaro, è perchè quando c'è una situazione simile (cioè x tende a 0), si considera solo la potenza con esponente più basso (cioè che tende a 0 più lentamente), e le altre si buttano (trascurano). Grazie mille

[gugo82]

Prova a vedere cosa succede se in [tex]$x+x^2+x^3$[/tex] metti in evidenza [tex]$x$[/tex] passando al limite.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Prova a vedere cosa succede se in [tex]$x+x^2+x^3$[/tex] metti in evidenza [tex]$x$[/tex] passando al limite.

$x(1+x+x^2)$

[gugo82]

E quindi?...

[Sk_Anonymous]

"gugo82":E quindi?...

quindi il limite è 0, però sarebbe stato 0 anche se avessi isolato x^3 e avessi scartato le altre funzioni. Quello che non mi è chiaro è perchè in una situaione simile (cioè quando x tende a 0), la funzione che determina il limite è quella che tende a 0 più lentamente, cioè x.

[Sk_Anonymous]

"Soscia":[quote="gugo82"]E quindi?...

quindi il limite è 0, però sarebbe stato 0 anche se avessi isolato x^3 e avessi scartato le altre funzioni. Quello che non mi è chiaro è perchè in una situaione simile (cioè quando x tende a 0), la funzione che determina il limite è quella che tende a 0 più lentamente, cioè x.[/quote]
cioè, quando devo calcolare il limite di una somma di funzioni per x che tende a 0, mi sembra ovvio che sia la funzione con esponente più grande, cioè quella che tende a 0 più velocemente a determinare il limite, e non quella che va a 0 più lentamente. Mi capite?

[gugo82]

"Soscia":[quote="Soscia"][quote="gugo82"]E quindi?...

quindi il limite è 0, però sarebbe stato 0 anche se avessi isolato x^3 e avessi scartato le altre funzioni. Quello che non mi è chiaro è perchè in una situaione simile (cioè quando x tende a 0), la funzione che determina il limite è quella che tende a 0 più lentamente, cioè x.[/quote]
cioè, quando devo calcolare il limite di una somma di funzioni per x che tende a 0, mi sembra ovvio che sia la funzione con esponente più grande, cioè quella che tende a 0 più velocemente a determinare il limite, e non quella che va a 0 più lentamente. Mi capite?[/quote]
Infatti non è così.

E non è così proprio per il motivo che ho detto sopra.
Prova a confrontare, ad esempio, la funzione [tex]$x+x^2+x^3$[/tex] con una funzione potenza d'esponente [tex]$\alpha >1$[/tex], ossia calcola:

[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{x+x^2+x^3}{x^\alpha}$[/tex];

poi confronta la tua funzione con una funzione potenza d'esponente [tex]$0<\beta <1$[/tex], cioè calcola:

[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{x+x^2+x^3}{x^\beta}$[/tex]...

Cosa esce fuori?
E questo risultato come lo interpreti alla luce dell'ordine d'infinitesimo? Ossia, puoi dire qual è l'ordine di infinitesimo dalla tua funzione in [tex]$0$[/tex]?



P.S.: Se avessi isolato [tex]$x^3$[/tex] (o anche [tex]$x^2$[/tex]) avresti trovato una forma indeterminata [tex]$0\cdot \infty$[/tex] (di cui sapevi il risultato per altre vie, ma comunque una forma indeterminata).