Informazione Su Dimostrazione Massimi e Minimi relativi

[M.C.D.1]

Ragazzi Salve a tutti
Sto affrontando Questa dimostrazione di condizione necessaria del primo ordine relativa ad una funzione di piu' variabili riguardante i massimi e minimi:

Sia $ A sub R^n$
f: $ A --> R $
Sia f derivabile in $ x_0 $ punto di massimo o minimo relativa interno ad A allora il gradiente di f in $ x_0 $ e' uguale a 0

La dimostrazione procede come segue:

Supponiamo $ x_0 $ sia di massimo relativo
considerato un indice i = 1,...,n
fissiamo $ e_i = (0,0,...1,0...,0) $ con tutte le componenti uguali a zero tranne la i-esima
Consideriamo la funzione F(t) = f($ x_0 $ + $ t e_i$)
essa e' definita in t = 0 ed assume massimo per t=0.
la funzione F e' derivabile e la sua derivata e' per definizione la derivata parziale $ f_{x_i} (x_0) $


Ecco Questo e' il punto che non comprendo
Come si vede che la derivata di F e' proprio quella derivata parziale?

Grazie Anticipatamente

[piadinaro1]

Si vede dalla definizione di derivata parziale:
\[ F'(0):= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(h)-F(0)}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+he_i)-f(x_0)}{h}=:\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) \]

[M.C.D.1]

Quindi e' In 0 che la derivata viene a coincidere con quella derivata parziale, giusto?

[Quinzio]

Onestamente non comprendo il tuo dubbio:
la derivata parziale è quella "per definizione". Non c'è una ragione, una causa dietro a ciò.