Info risoluzione problema cauchy

[microinfo]

ciao raga qualcuno mi puo spiegare bene come funziona la scomposizione in fratti? cioè io quando ho un prob di cauchy lo risolvo meccanicamente così ad esempio:
y^''-12y^'+27y=e^(7t)t
y^'(0)=1, y(0)=3

io lo risolvo in questo modo:
applico la formula ed arrivo a:

Y=1/((s-7)^2(s^2-12s+27))+(s-9)/(s^2-12s+27)

adesso ponendo il denominatore=0 mi trovo i poli
3 e 9 semplici e 7 doppio
d questi calcolo i residui, portando il numeratore fuori(perchè cosi fa negli esempi ma non so perchè):

R[9]=1/24
R[3]=-1/16
R[7]=-1/32
R[7]''=-1/8
R[3]=1 (per l'altra frazione)

adesso compongo la X(s) facendo sommatoria di (Res[x])/(s-x)=
Y(s)=((-1/19)1/(s-3))+((1/24)1/(s-9))+((-1/32)1/(s-7)^2)+((-1/1/(s-7))+(1/(s-3))

fatto questo antitrasformo ogni termine e moltiplico tutto per u(t)
(95/96)e^(3t)+(1/24)e^(9t)-(1/e^(7t)-(1/32)e^(7t)

questo fatto in maniera meccanica..adesso voglio sapere cosa si intende per scomposizione in fratti e dove la applico?

i problemi mi sorgono ad esempio quando negli esercizi mi trovo con un polo del tipo -1/+(1/16)j questo nella Y(s) viene messo come:

-(1/4)(s/(s^2+4))-1/8(2/(s^2+4))

perchè? chi mi puo spiegare cosa si sta applicando? grazie

[Quinzio]

Fratti semplici a parte, mi sembra che stai usando dei metodi non appropriati (anche se non sbagliati) per quest'esercizio.

Qui si trova la soluzione all'omogenea, che è abbastanza immediata $y=c_1 e^(9x)+c_2e^(3x)$, quindi verificato che il termine noto non è soluzione dell'omogenea, si cerca un'integrale particolare del tipo $(Ax+B)e^(7x)$

[microinfo]

ho trovato la soluzione per residui complessi dovevo applicare la formula:
2alfa (s-teta0)/((s-teta0)^2+w0)-2beta wo/((s-teta0)^2+w0)