Infiniti ed infinitesimi
Qualcuno sa risolvere questa tipologia di esercizio? : Determinare l'infinitesimo campione equivalente all'infinitesimo f(x) in x0
Dove f(x) ovviamente è una funzione ... Finche sono capitate differenze o prodotti di funzioni non ho trovato difficoltà perchè considerando le funzioni singoloramente ad esempio f(x) = sen4x-tanx^2 io trovo prima l'ordine e l'infinitesimo equivalente di sen4x che è 4x e poi quello di tanx^2 che è x^2 e poi siccome so che nella somma o differenza di infinitesimi prevale quello di ordine minore so che f(x) equivale a 4x ma se avevo un rapporto e non una somma o differenza , a cosa equivaleva cioè come facevo dopo aver calcolato singolarmente a cosa equivaleva ogni funzione a scrivere quella equivalente di entrambe? Spero di essere stato chiaro , fra 4 giorni ho un esame e le probabilità che capiti il rapporto sono molto altre ve ne sarei grato se potreste aiutarmi!
Dove f(x) ovviamente è una funzione ... Finche sono capitate differenze o prodotti di funzioni non ho trovato difficoltà perchè considerando le funzioni singoloramente ad esempio f(x) = sen4x-tanx^2 io trovo prima l'ordine e l'infinitesimo equivalente di sen4x che è 4x e poi quello di tanx^2 che è x^2 e poi siccome so che nella somma o differenza di infinitesimi prevale quello di ordine minore so che f(x) equivale a 4x ma se avevo un rapporto e non una somma o differenza , a cosa equivaleva cioè come facevo dopo aver calcolato singolarmente a cosa equivaleva ogni funzione a scrivere quella equivalente di entrambe? Spero di essere stato chiaro , fra 4 giorni ho un esame e le probabilità che capiti il rapporto sono molto altre ve ne sarei grato se potreste aiutarmi!
Risposte
Scusa, prova a fare gli stessi conti con \(\frac{\sin 4x}{\tan x^2}\) oppure con \(\frac{\tan x^2}{\sin 4x}\)...
Il problema è che non so quale è la regola perchè se l'infinito equivalente di sen4x è 4x e tanx^2 è x^2 siccome è una differenza la regola mi dice che equivale a quella di ordine minore in questo caso sin4x è di ordine 1 mentre tanx^2 è di ordine due quindi devo considerare quella di ordine 1 e da cio capisco che sen4x-tanx^2 equivale a 4x ma nel caso di un rapporto non ho idea di quale sia la regola!
La regola è quella solita quando hai le frazioni: semplificare.
Infatti:
\[
\frac{\sin 4x}{\tan x^2} \approx \frac{4\cancel{x}}{x^\cancel{2}} = \frac{4}{x}
\]
ed analogamente:
\[
\frac{\tan x^2}{\sin 4x} \approx \frac{x^\cancel{2}}{4\cancel{x}} = \frac{x}{4}\; .
\]
Basta poco, che ce vò...
Dalla seconda trai che il rapporto \(\frac{\tan x^2}{\sin 4x}\) è infinitesimo del primo ordine in \(0\); mentre dalla prima trai che il limite di \(\frac{\sin 4x}{\tan x^2}\) per \(x\to 0\) non esiste (perché i limiti destro e sinistro non coincidono), però riesci a dire che a destra ed a sinistra di \(0\) la funzione \(\frac{\sin 4x}{\tan x^2}\) è un infinito del primo ordine.
Infatti:
\[
\frac{\sin 4x}{\tan x^2} \approx \frac{4\cancel{x}}{x^\cancel{2}} = \frac{4}{x}
\]
ed analogamente:
\[
\frac{\tan x^2}{\sin 4x} \approx \frac{x^\cancel{2}}{4\cancel{x}} = \frac{x}{4}\; .
\]
Basta poco, che ce vò...
Dalla seconda trai che il rapporto \(\frac{\tan x^2}{\sin 4x}\) è infinitesimo del primo ordine in \(0\); mentre dalla prima trai che il limite di \(\frac{\sin 4x}{\tan x^2}\) per \(x\to 0\) non esiste (perché i limiti destro e sinistro non coincidono), però riesci a dire che a destra ed a sinistra di \(0\) la funzione \(\frac{\sin 4x}{\tan x^2}\) è un infinito del primo ordine.
Però se io ho una differenza ad esempio x^2-4x io prendo 4x e sin4x-tan^x quivale a 4x , mentre se era il prodotto sin4x tan^x^2 era uguale al prodotto dei limiti ed elevato ad alfa piu beta dove alfa e beta sono gli ordini mentre nel rapporto quindi nn bisogna applicare nessuna regola basta fare il rapporto degli infiniti equivalenti ? Perchè se era il prodotto io nn facevo 4x x^2 ma calcolavo il limite della prima che è 1 e lo moltiplicavo per il limite della seconda e lo elevavo ad alfa piu beta dove alfa è 1 pkè è del primo ordine sin4x e la seconda mi pare del secondo ordine quindi elevo al cubo ..comunque in ogni caso grazie della risposta !!!
Non si è capito nulla.
Prova a postare un esempio di esercizio, così ci ragioniamo insieme.
Un consiglio: non pensare che la Matematica sia un insieme di regole, ma ragiona sui problemi che ti trovi davanti.
Prova a postare un esempio di esercizio, così ci ragioniamo insieme.
Un consiglio: non pensare che la Matematica sia un insieme di regole, ma ragiona sui problemi che ti trovi davanti.
Ti ringrazio per la disponibilità ma ho risolto ed era come dicevi tu nella risposta precedente ovvero bastava fare il rapporto degli infinitesimi ! Sono d'accordo con te che la Matematica non è un insieme di regole ma a volte devi saperle come ad esempio le regole di derivazione cioè se non sai la regola svolgere la derivata è complicato per questo insistevo sul fatto delle regole 
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