Infiniti ed infinitesimi

[nikel93]

$ log(2e^(3x)+1)/(x-1)^2 $

Stabilire in quali punti di R ampliato la funzione è un infinito e precisarne l'ordine.

Io trovo che la funzione sia un infinito solo nel punto 1. E' corretto? Come posso determinarne l'ordine ?

[giuscri]

"Asterix93":R ampliato

$RR$ ampliato sarebbe $RR \cup {+-\infty}$? Allora forse non solo in $1$ ...

[nikel93]

A $ +- ∞ $ trovo che il limite è 0... E' sbagliato?

[giuscri]

"Asterix93":A $ +- ∞ $ trovo che il limite è 0... E' sbagliato?

Ad occhio direi che hai ragione

[nikel93]

Dunque solo 1? E per quanto riguarda l'"ordine" ?

[giuscri]

"Asterix93":per quanto riguarda l'"ordine" ?

Hai una definizione rigorosa di ordine di infinito? Io no (però è molto probabile che esista ...) quindi non vorrei darti risposte secche -oltre ad essere contro la filosofia del forum .
Tu cosa diresti? Hai qualche idea per chiudere l'esercizio?

[Brancaleone1]

$f(x)=(ln(2e^(3x)+1))/(x-1)^2$

$text(dominio di ) f(x)=(-oo,1)cup(1,+oo)$

Come hai giustamente detto, $f(x)$ assume valore $+oo$ solo per $x->1$, poiché:

$lim_(x->-oo) f(x)=lim_(x->+oo) f(x)=0$

e

$lim_(x->1) f(x)=+oo$

mentre altrove la funzione assume valori finiti.
A questo punto trovare l'ordine di infinito per $x->1$ è semplice:

*al numeratore il logaritmo, per $x->1$, assume valore finito positivo ($l>0$);
*al denominatore, per $x->1$, tutto il termine tende a $0$, e poiché è elevato al quadrato, lo fa con ordine $2$;

$=>lim_(x->1) f(x)=(l in RR)/(0^+ text( di ordine 2))=+oo text( di ordine 2)$

[nikel93]

Grazie mille