Infiniti e loro confronto
Ciao a tutti/e,
Spero di essere nella sezione esatta
Il mio libro dice che nel calcolo dei limiti di infiniti, gli infiniti di ordine inferiore si possono trascurare, non ho capito bene se questo è il cosiddetto principio di sostituzione degli infiniti, purtroppo il mio libro cita questo teorema senza un nome preciso. Formalmente:
Siano $f=f1+f2$ e $g=g1+g2$ con $f2$ infinito di ordine inferiore a $f1$ e $g2$ infinito di ordine inferiore a $g1$ per x→x0, allora $\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)+f_2(x)]/[g_1(x)+g_2(x)]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)]/[g_1(x)]$
Quello che non capisco è il primo passaggio della dimostrazione, che dice che:
$\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]$
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questo passaggio? grazie 
Spero di essere nella sezione esatta
Il mio libro dice che nel calcolo dei limiti di infiniti, gli infiniti di ordine inferiore si possono trascurare, non ho capito bene se questo è il cosiddetto principio di sostituzione degli infiniti, purtroppo il mio libro cita questo teorema senza un nome preciso. Formalmente:Siano $f=f1+f2$ e $g=g1+g2$ con $f2$ infinito di ordine inferiore a $f1$ e $g2$ infinito di ordine inferiore a $g1$ per x→x0, allora $\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)+f_2(x)]/[g_1(x)+g_2(x)]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)]/[g_1(x)]$
Quello che non capisco è il primo passaggio della dimostrazione, che dice che:
$\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]$
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questo passaggio? grazie
Risposte
In pratica:
ma, per ipotesi, $f_2(x)$ e $g_2(x)$ sono infiniti di ordine inferiore se confrontati rispettivamente con $f_1(x)$ e $g_1(x)$.
Quindi:
da cui discerne necessariamente che
$\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)+f_2(x)]/[g_1(x)+g_2(x)]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]$,
ma, per ipotesi, $f_2(x)$ e $g_2(x)$ sono infiniti di ordine inferiore se confrontati rispettivamente con $f_1(x)$ e $g_1(x)$.
Quindi:
$\lim_{x\tox_0}(f_2(x))/(f_1(x))=\lim_{x\tox_0}(g_2(x))/(g_1(x))=0$,
da cui discerne necessariamente che
$\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)(1+0)]/[g_1(x)(1+0)]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)]/[g_1(x)]$.
"G.Sciaguato":
In pratica:
$\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)+f_2(x)]/[g_1(x)+g_2(x)]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]$,
ma, per ipotesi, $f_2(x)$ e $g_2(x)$ sono infiniti di ordine inferiore se confrontati rispettivamente con $f_1(x)$ e $g_1(x)$.
Quindi:
$\lim_{x\tox_0}(f_2(x))/(f_1(x))=\lim_{x\tox_0}(g_2(x))/(g_1(x))=0$,
da cui discerne necessariamente che
$\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)(1+0)]/[g_1(x)(1+0)]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)]/[g_1(x)]$.
Ciao, ti ringrazio, tu sei stato chiarissimo e mi hai spiegato perchè
$\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)]/[g_1(x)]$.
quello però che io non ho capito è per così dire il passaggio precedente, ossia perchè
$\lim_{x\tox_0}f(x)/g(x)=\lim_{x\tox_0}[f_1(x)[1+(f_2(x))/(f_1(x))]]/[g_1(x)[1+(g_2(x))/(g_1(x))]]$,
Sapresti aiutarmi? Comunque grazie ancora
Ti è sufficiente raccogliere $f_1(x)$ per quanto riguarda ad esempio $f(x)$ per ottenere quell'espressione.
"G.Sciaguato":
Ti è sufficiente raccogliere $f_1(x)$ per quanto riguarda ad esempio $f(x)$ per ottenere quell'espressione.
Grazie!
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