Infiniti e Infinitesimi
Salve a tutti ragazzi.
Avrei qualche problema con gli Infinitesimi e gli Infiniti. Devo svolgerli per l'esame di Matematica alla mia università e il mio professore vuole che li svolga seguendo una determinata "scaletta".
Vi posto un esempio per farvi capire:
Il mio problema nasce sugli infiniti e, in particolar modo, sulle regole da applicare ai rapporti.
Per esempio, come si svolge questo esercizio?
Determinare l'infinito campione equivalente all'infinito
$f(x)= \log(x^4-2x+1)-frac{\sqrt(x^5-x-2)}{x-3}$ in $+\infty$
Grazie mille.
Avrei qualche problema con gli Infinitesimi e gli Infiniti. Devo svolgerli per l'esame di Matematica alla mia università e il mio professore vuole che li svolga seguendo una determinata "scaletta".
Vi posto un esempio per farvi capire:
Determinare l'infinitesimo campione equivalente all'infinitesimo
$f(x)= (\e^(x^(4))-1)(\sen4x)$ in zero.
Risoluzione:
$\lim_{x \to \0}\frac{(\e^(x^(4))-1)}{x^4} = 1 \rightarrow \e^(x^(4))-1$ equivale $x^4$
$\lim_{x \to \0}\frac{\sen4x}{x} = 4 \rightarrow \sen4x$ equivale $4x$
Il prodotto di infinitesimi equivale al prodotto degli infinitesimi equivalenti dei fattori, per cui:
$f(x) = (\e^(x^(4))-1)(\sen4x)$ equivale $4x^5$
Il mio problema nasce sugli infiniti e, in particolar modo, sulle regole da applicare ai rapporti.
Per esempio, come si svolge questo esercizio?
Determinare l'infinito campione equivalente all'infinito
$f(x)= \log(x^4-2x+1)-frac{\sqrt(x^5-x-2)}{x-3}$ in $+\infty$
Grazie mille.
Risposte
Magari qualche "purista" si scandalizzerà ma io avrei pensato questo.Il log si può ridurre a 4log|x| e,per \(\displaystyle x->+\infty \) è un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza di x (ad esponente >0).L'altro "pezzo " ,trascurando gli infiniti di ordine inferiore, si riduce a \(\displaystyle \frac{\sqrt{x^5}}{x} =x^{\frac{3}{2} }\).Pertanto ,tenuto conto del comportamento del log, direi che l'infinito di riferimento è \(\displaystyle x^{\frac{3}{2}} \)
Non sono un purista e quindi non solo non mi scandalizzo, ma anzi se dovessi risolvere la cosa per me stesso farei esattamente il tuo stesso ragionamento, vittorino70; mi sembra però di capire che il prof voglia un procedimento del tipo:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^k}=a\Rightarrow f(x)\sim ax^k[/tex] e allora si potrebbe provare ad accontentarlo così:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln(x^4-2x+1)}{x^k}=0[/tex] per qualsiasi $k>0$ , quindi il logaritmo è $o(x^k)$ con $k$ qualsiasi (positivo); analogamente
sull'altro termine:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^5-x-2}}{x^k(x-3)}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{5/2}\sqrt{1-1/x^4-2/x^5}}{x^{k+1}(1-3/x)}=1[/tex] se $k+1=5/2$, da cui arrivi alla stessa soluzione.
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^k}=a\Rightarrow f(x)\sim ax^k[/tex] e allora si potrebbe provare ad accontentarlo così:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln(x^4-2x+1)}{x^k}=0[/tex] per qualsiasi $k>0$ , quindi il logaritmo è $o(x^k)$ con $k$ qualsiasi (positivo); analogamente
sull'altro termine:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^5-x-2}}{x^k(x-3)}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{5/2}\sqrt{1-1/x^4-2/x^5}}{x^{k+1}(1-3/x)}=1[/tex] se $k+1=5/2$, da cui arrivi alla stessa soluzione.
Grazie a entrambi! 
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