Infinitesimo

[Help2]

Come posso "dimostrare" che per $x->0$, $1/(x^2e^(1/x))~1/e^(1/x)$, in altre parole che $e^(1/x)=o(x^2)$, usando i simboli di Landau.

(cioè in pratica ho un integrale improprio tra $0$ e $1$ di $1/(x^2e^(1/x))$, che sto cercando d far divergere con il criterio del confronto asintotico).

Grazie.

[_Tipper]

$e^{\frac{1}{x}} = o(x^2) \iff \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = 0$

[Help2]

"Tipper":$e^{\frac{1}{x}} = o(x^2) \iff \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = 0$

Uhm, effettivamente...

Un'altra domanda: Se $e^(1/x)=o(x^2)$, vuol dire che per $x->0$, $x^2e^(1/x)$ equivale a (il grafico si confonde con) $e^(1/x)$. giusto? quindi sempre per $x->0$ nell'integrale al posto di scrivere $1/(x^2e^(1/x))$ posso scirvere $e^(1/x)$ (dopo aver motivato il passaggio) è corretto? (ho dei problemi con gli infinitesimi)

Grazie ciao

[_Tipper]

Una funzione $f$ è asintotica a una funzione $g$ per $x \to 0$ se e solo se esiste $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tale che $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = k$. Quindi se $\lim_{x \to 0} x^2 e^{\frac{2}{x}}$ esiste finito ed è diverso da zero allora $e^{\frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^2 e^{\frac{1}{x}}$ sono asintotiche per $x \to 0$, e in tal caso $\int_0^a \frac{1}{x^2 e^{\frac{1}{x}}}dx$ converge se e solo se $\int_0^a e^{\frac{1}{x}}dx$ converge.