Infinitesimi, infiniti, o-piccolo, O-grande e Taylor

[matt87]

Infinitesimi e Infiniti / O-piccolo e O-grande

Potete dare un occhiata a queste 5 scannerizzazioni di appunti e dirmi se quello che c'è scritto
è corretto o c'è qualche errore? (o qualche sfondone )
(non c'è scritto molto, sono molto schematici)

1-infinitesimi:
http://img152.imageshack.us/img152/6370/32135097sf3.jpg

http://img219.imageshack.us/img219/4687/44453841vk1.jpg

2-infiniti:
http://img219.imageshack.us/img219/4534/79758016ju5.jpg

http://img219.imageshack.us/img219/9386/94693261ur7.jpg

3-O-piccolo e O-grande:
http://img516.imageshack.us/img516/7672/58681293gf0.jpg

Aggiungo anche una domanda riguardo a questo argomento: Esiste una qualque relazione fra O-grande e O-piccolo, o sono due concetti tanto simili quanto indipendenti l'uno all'altro?


Taylor

La formula di Taylor può avere resto di Peano (che utilizza l'o-piccolo) o resto di Lagrange.
Perchè trovo sviluppi di Taylor che hanno il resto con O-grande quando tutte le spiegazioni della formula di Taylor che ho consultato non parlano mai di resto con O-grande ma solo con o-piccolo?!?

Help please

[Eredir]

Non mi risulta la tua definizione di o grande. Questa mi sembra la più comune:

$f(x) = o(g(x))$ se $lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = 0$

$f(x) = O(g(x))$ se $lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = M$ con $M \in RR$

Detto questo la questione sulla serie di Taylor mi sembra semplice. Ad esempio:

$e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ oppure $e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)$

[Lorenzo Pantieri]

"matt87":
Esiste una qualque relazione fra O-grande e O-piccolo, o sono due concetti tanto simili quanto indipendenti l'uno all'altro?

Sia $x$ tendente ad $a$. Una funzione $f$ è un o-piccolo di $g$ se il limite di $f$ su $g$ è zero. Una funzione $f$ è O-grande di $g$ se il rapporto $f$ su $g$ è definitivamente limitato. Quindi, se $f$ è o-piccolo di $g$, allora $f$ è anche O-grande di $g$. Non vale (ovviamente) il viceversa.

Ciao,
L.

[Lorenzo Pantieri]

"Eredir":
$e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ oppure $e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)$

Certo. A rigore, la seconda forma contiene più informazioni della prima. In pratica, visto che si può procedere indefinitamente con lo sviluppo, si può usare tranquillamente la forma con il resto di Peano, a condizione di prendere un numero "sufficiente" di termini.

Ciao,
L.

[Nebula2]

"Eredir":Non mi risulta la tua definizione di o grande. Questa mi sembra la più comune:

$f(x) = o(g(x))$ se $lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = 0$

$f(x) = O(g(x))$ se $lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = M$ con $M \in RR$

per l'o piccolo vale equivalentemente la definizione $f(x) = o(g(x))$ se $f(x)=g(x)h(x)$ con $lim_{x->x_o}h(x)=0$.
per l'O grande mi sa che non è necessario che esista il limite, ma basta che $f/g$ sia limitata in un intorno di $x_0$ (o equivalentemente $f(x) = O(g(x))$ se $f(x)=g(x)h(x)$ con $h(x)$ limitata in un intorno di di x_0).

"Eredir":Detto questo la questione sulla serie di Taylor mi sembra semplice. Ad esempio:

$e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ oppure $e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)$

sicuro? mi sa che $o(x^2)$ è più grande di $O(x^3)$.

ad esempio $1+x+x^2+x^{5/2}=1 + x + x^2 + o(x^2)$ ma $1+x+x^2+x^{5/2}!=1 + x + x^2 + O(x^3)$.

[Eredir]

"Nebula":sicuro? mi sa che $o(x^2)$ è più grande di $O(x^3)$.

ad esempio $1+x+x^2+x^{5/2}=1 + x + x^2 + o(x^2)$ ma $1+x+x^2+x^{5/2}!=1 + x + x^2 + O(x^3)$.

Hai ragione, credo sia la stessa osservazione di Lorenzo Pantieri.
Spesso però si trovano scritture del genere poichè nelle serie di Taylor ovviamente si hanno solo esponenti naturali, quindi credo che un po' impropriamente si intenda che ci si riferisce a potenze di questo tipo.

[Lorenzo Pantieri]

"Nebula":
sicuro? mi sa che $o(x^2)$ è più grande di $O(x^3)$.

No! Una funzione $o(x^2)$, per $x$ che tende a $0$, è "più piccola di $x^2$, nel senso che se la si divide per $x^2$, il limite è 0. Quindi x^{2.5}, $x^3$ e $x^4$ sono entrambe o-piccolo di $x^2$, ma la prima non è O-grande di $x^3$, la seconda e la terza lo sono.

L.

[Nebula2]

"Lorenzo Pantieri":[quote="Nebula"]
sicuro? mi sa che $o(x^2)$ è più grande di $O(x^3)$.

No! Una funzione $o(x^2)$, per $x$ che tende a $0$, è "più piccola di $x^2$, nel senso che se la si divide per $x^2$, il limite è 0. Quindi x^{2.5}, $x^3$ e $x^4$ sono entrambe o-piccolo di $x^2$, ma la prima non è O-grande di $x^3$, la seconda e la terza lo sono.

L.[/quote]

quello che dicevo, $x^{5/2} in o(x^2)\\O(x^3)$, no?

[Lorenzo Pantieri]

"Nebula":
quello che dicevo, $x^{5/2} in o(x^2)\\O(x^3)$, no?

Non avevo capito quello che volevi dire: questo è ok.

Ciao,
L.

[matt87]

Quello che avete detto mi ha schiarito un po' le idee ma ho ancora dei dubbi (scusate ma su questo argomento sono un po' duro )

"Eredir":Questa mi sembra la più comune:

$f(x) = o(g(x))$ se $lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = 0$

$f(x) = O(g(x))$ se $lim_(x->x_0) f(x) / g(x) = M$ con $M \in RR$

Questo è molto chiaro, ma con M intendi un qualunque numero appartenente ad $RR$, giusto? (quindi non + e - infinito)?
Se è così allora o-piccolo è quasi un caso particolare di O-grande, cioè se l'M della seconda formula è zero allora possiamo scrivere sia $f(x) = O(g(x))$ che $f(x) = o(g(x))$. giusto?

"Lorenzo Pantieri":Una funzione f è O-grande di g se il rapporto f su g è definitivamente limitato.

Questa mi manca proprio: Che differenza c'è fra dire "limitato" e "definitivamente limitato"?


Abbiate pazienza questo argomento non è proprio il mio forte

[Eredir]

"matt87":Questo è molto chiaro, ma con M intendi un qualunque numero appartenente ad $RR$, giusto? (quindi non + e - infinito)?
Se è così allora o-piccolo è quasi un caso particolare di O-grande, cioè se l'M della seconda formula è zero allora possiamo scrivere sia $f(x) = O(g(x))$ che $f(x) = o(g(x))$. giusto?

Effettivamente usando quelle definizioni è così.
Tuttavia in un caso del genere si trova sempre scritto $f(x) = o(g(x))$, per evitare inutili complicazioni.
Inoltre non so se una cosa del genere è consistente con le altre definizioni che si trovano comunemente di o piccolo e grande.

[Nebula2]

"matt87":Che differenza c'è fra dire "limitato" e "definitivamente limitato"?

in un intorno di $x_0$.