Infinitesimi e loro confronti2

[Sk_Anonymous]

vogliamo determinare gli ordini di infinitesimo o infinito delle seguenti funzioni:

1)$f(x)=1-root{3}(cosx)$ per $x->0$

dal limite notevole
$(1+x)^alpha=1+alphax+o(x)$ per $x->0
possiamo sostituire $1/3$ ad $alpha$ e $cosx-1->0$ ad $x$:
$1-root{3}(cosx)=1-(1+1/3(cosx-1)+o(cosx-1))=1-(1-1/6x^2)(1+o(1))+o(-1/2x^2(1+o(1)))=1/6x^2(1+o(1))
poiché $cosx-1=-1/2x^2(1+o(1))

2)$f(x)=ln(5x^2-3x+2^x)$ per $x->0

dal limite notevole
$ln(1+x)=x+o(x)$ per $x->0
si trova:
$ln(5x^2-3x+2^x)=5x^2-3x+2^x-1+o(5x^2-3x+2^x-1)
e per il limite notevole
$a^x=1+xlna+o(x)
$5x^2-3x+2^x-1=5x^2-3x+xln2+o(x)=(ln2-3)x(1+o(1))
allora
$ln(5x^2-3x+2^x)=(ln2-3)x(1+o(1))+o((ln2-3)x(1+o(1)))=(ln2-3)x(1+o(1))$ per $x->0

[fireball1]

"micheletv":ah ho capito:
$e^(pi/2lnx+o(1))=e^(pi/2lnx(1+o(1)))=(e^(lnx^(pi/2)))^(1+o(1))=(x^(pi/2))^(1+o(1))=x^(pi/2)

Non è così... E' questo il motivo del passaggio del libro
che non hai chiaro: $e^(ln(x^(pi/2))+o(1)) = e^(ln(x^(pi/2))) * e^(o(1)) = x^(pi/2) ( 1 + o(1) )
in quanto $e^(o(1))$ è qualcosa che tende a 1 e dunque è $1+o(1)$.

[Sk_Anonymous]

altro esercizio:
determinare, al variare di $alpha in RR\\{0}$ l'ordine di infinito o infinitesimo della seguente funzione

$ln((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2))+2x^(2alpha) $per $x->+oo
la funzione risulta infinitesima per ogni alfa negativo, infinita per ogni alfa positivo
tentiamo di stabilire l'ordine di infinitesimo:

$ln((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2))+2x^(2alpha)->0, $per $x->+oo, AA alpha in RR^-
siccome, per x che tende a più infinito $(x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)->1$ si può scrivere $ln((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2))=(x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1+o((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1)
e $2x^(2alpha)->0 rArr 2x^(2alpha)=o(1)
trovo:
$ln((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2))+2x^(2alpha)=(x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1+o((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1)+o(1)$ per $x->+oo

ora, la scrittura $ln((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2))=(x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1+o((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1)$ significa che $ln((x^2+x^alpha)/(1+x+x^2))$ è un infinitesimo di ordine superiore a $(x^2+x^alpha)/(1+x+x^2)-1$. Questo mi suggerisce che posso manipolare questo o piccolo in qualche modo...
come si prosegue adesso??