Infinitesimi

[VALE014]

salve a tutti, ho questo limite che per infinitesimi che "banalmente" si sa il risultato, però devo dimostrarlo in maniera rigorosa e qui non so come procedere.
$ lim_(n -> oo) (n!)/(n^n) $
per la scala degli infinitesimi so che il limite è 0, ma in maniera rigorosa come lo spiego??
Grazie in anticipo.

[Cantor99]

Col criterio del rapporto

Posto $a_n=\frac{n!}{n^n}$, calcola $lim_(n->+\infty) \frac{a_(n+1)}{a_n}=l$. Se $l<1$, allora il limite è 0, se $l>1$ allora il limite è $+\infty$. Se $l=1$ non si può dire nulla

Edit: correggo la svista, grazie @gugo82

[Raptorista1]

C'è una dimostrazione più elegante di questo risultato:
\[
\frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot
\]
Questo è il prodotto di numeri tutti minori o uguali a \(1\), i primi dei quali tendono a zero passando al limite, quindi il prodotto è zero.

[gugo82]

@Cantor99: Mi sa che stai denotando con $l$ due limiti diversi...

[VALE014]

grazie