Infinitesimi
Buona Pasqua a tutti,
E' noto il paradosso di Anassagora e Zenone al quale Democrito da una soluzione fisica "distaccandosi" dalla matematica:
Il paradosso:
Dato un segmento, se lo si considera costituito da infiniti punti abbiamo due ipotesi:
$A)$ essi hanno dimensione nulla.
$B)$ essi hanno dimensione diversa da zero.
Nell' ipotesi A, la loro somma infinita è nulla.
Nell' ipotesi B, la loro somma infinita è infinita. (Tuttavia, non è vero che la somma di infiniti termini è sempre infinita. Anche se non saprei come dimostrarlo.)
In entrambe le ipotesi non si riotterebbe il segmento di partenza.
Come è risolto il paradosso con il calcolo integrale?
Nell' ipotesi $B$, se la somma non è però infinita: Se si divide all' infinito un segmento $a$, quanto vale la sua parte infinitesima $dx$?
Aggiungo: So che è possibile ottenere $a$ nel seguente modo:
$\sum_(i=1)^(n=infty) (a/2^i) $, tuttavia qui il $dx$ non è costante.
E' noto il paradosso di Anassagora e Zenone al quale Democrito da una soluzione fisica "distaccandosi" dalla matematica:
Il paradosso:
Dato un segmento, se lo si considera costituito da infiniti punti abbiamo due ipotesi:
$A)$ essi hanno dimensione nulla.
$B)$ essi hanno dimensione diversa da zero.
Nell' ipotesi A, la loro somma infinita è nulla.
Nell' ipotesi B, la loro somma infinita è infinita. (Tuttavia, non è vero che la somma di infiniti termini è sempre infinita. Anche se non saprei come dimostrarlo.)
In entrambe le ipotesi non si riotterebbe il segmento di partenza.
Come è risolto il paradosso con il calcolo integrale?
Nell' ipotesi $B$, se la somma non è però infinita: Se si divide all' infinito un segmento $a$, quanto vale la sua parte infinitesima $dx$?
Aggiungo: So che è possibile ottenere $a$ nel seguente modo:
$\sum_(i=1)^(n=infty) (a/2^i) $, tuttavia qui il $dx$ non è costante.
Risposte
Vedo un sacco di confusione, vediamo di fare ordine.
Qui c'è la prima precisazione: quanti sono "infiniti punti"? Ci sono diverse infinità, ad esempio quella numerabile e quella non numerabile. Nel caso dei punti in un segmento, essi costituiscono un'infinità non numerabile.
Questo è vero, infatti la somma di infiniti termini di dimensione \(\varepsilon\) è maggiore di \(M\), per ogni \(M\) grande quanto vuoi, infatti basta sommare i primi \(\frac{M}{\varepsilon} + 1\) termini e già hai superato \(M\). Ma se un "numero" è maggiore di ogni numero positivo, allora è infinito.
Serve che i pezzi che sommi siano infinitesimi, e che diventino abbastanza piccoli abbastanza in fretta, in modo che la somma rimanga limitata.
Qui c'è il baco. Poiché i punti sono un'infinità non numerabile, non è vero che la misura della somma sia uguale alla somma delle misure. Questo è parte della definizione di "misura positiva" che si dà in teoria della misura per rendere rigoroso il concetto di misura che intuitivamente abbiamo.
Questo \(dx\) di cui parli non è definito. Dividendo un numero (diciamo, a metà) infinite volte lo puoi rendere più piccolo di qualunque numero positivo, e quindi diventa zero.
Qui il \(dx\) sembra essere il termine della serie. Come sopra, qui la successione che sommi è infinitesima, cioè il limite del termine \(a_n\) è zero.
Spero di aver fatto un po' di chiarezza.
"curie88":
Dato un segmento, se lo si considera costituito da infiniti punti abbiamo due ipotesi:
Qui c'è la prima precisazione: quanti sono "infiniti punti"? Ci sono diverse infinità, ad esempio quella numerabile e quella non numerabile. Nel caso dei punti in un segmento, essi costituiscono un'infinità non numerabile.
"curie88":
$B)$ essi hanno dimensione diversa da zero.
Nell' ipotesi B, la loro somma infinita è infinita.
Questo è vero, infatti la somma di infiniti termini di dimensione \(\varepsilon\) è maggiore di \(M\), per ogni \(M\) grande quanto vuoi, infatti basta sommare i primi \(\frac{M}{\varepsilon} + 1\) termini e già hai superato \(M\). Ma se un "numero" è maggiore di ogni numero positivo, allora è infinito.
"curie88":
Tuttavia, non è vero che la somma di infiniti termini è sempre infinita. Anche se non saprei come dimostrarlo.
Serve che i pezzi che sommi siano infinitesimi, e che diventino abbastanza piccoli abbastanza in fretta, in modo che la somma rimanga limitata.
"curie88":
$A)$ essi hanno dimensione nulla.
Nell' ipotesi A, la loro somma infinita è nulla.
Qui c'è il baco. Poiché i punti sono un'infinità non numerabile, non è vero che la misura della somma sia uguale alla somma delle misure. Questo è parte della definizione di "misura positiva" che si dà in teoria della misura per rendere rigoroso il concetto di misura che intuitivamente abbiamo.
"curie88":
Nell' ipotesi $B$, se la somma non è però infinita: Se si divide all' infinito un segmento $a$, quanto vale la sua parte infinitesima $dx$?
Questo \(dx\) di cui parli non è definito. Dividendo un numero (diciamo, a metà) infinite volte lo puoi rendere più piccolo di qualunque numero positivo, e quindi diventa zero.
"curie88":
Aggiungo: So che è possibile ottenere $a$ nel seguente modo:
$\sum_(i=1)^(n=infty) (a/2^i) $, tuttavia qui il $dx$ non è costante.
Qui il \(dx\) sembra essere il termine della serie. Come sopra, qui la successione che sommi è infinitesima, cioè il limite del termine \(a_n\) è zero.
Spero di aver fatto un po' di chiarezza.
Buongiorno Raptorista, ti ringrazio moltissimo per la risposta.
Si ero al corrente che quanto tu dici, è stato dimostrato da Cantor.
Costituiscono un' infinità non numerabile, cioè non possono essere messi in corrispondenza con i numeri naturali.
Tuttavia devo ancora approfondire questo concetto, in merito a ciò ho la seguente domanda da porre:
Nel calcolo integrale (quello di Riemann) si fa la somma degli infiniti N elementi infinitesimi $dx$ moltiplicati per il valore della funzione calcolata prima in $x_i$ e poi in $x_(i - 1)$.
La domanda è: questo valore di N, è un infinito numerabile? Cioè ciascun $i$ è in corrispondenza con un numero naturale?
Non ho ben chiaro questo concetto. La derivata di una funzione sappiamo che si calcola:
$f'(x) = lim_(h->0) (f(x+h) - f(x))/h$
Ma dividere per zero, non si può,quindi... $h$ deve essere maggiore di tale quantità?[/quote]
Equivale forse a dire che per gli insiemi non numerabili, non vale la proprietà associativa? Se si perchè?
"Raptorista":
Qui c'è la prima precisazione: quanti sono "infiniti punti"? Ci sono diverse infinità, ad esempio quella numerabile e quella non numerabile. Nel caso dei punti in un segmento, essi costituiscono un'infinità non numerabile.
Si ero al corrente che quanto tu dici, è stato dimostrato da Cantor.
Costituiscono un' infinità non numerabile, cioè non possono essere messi in corrispondenza con i numeri naturali.
Tuttavia devo ancora approfondire questo concetto, in merito a ciò ho la seguente domanda da porre:
Nel calcolo integrale (quello di Riemann) si fa la somma degli infiniti N elementi infinitesimi $dx$ moltiplicati per il valore della funzione calcolata prima in $x_i$ e poi in $x_(i - 1)$.
La domanda è: questo valore di N, è un infinito numerabile? Cioè ciascun $i$ è in corrispondenza con un numero naturale?
"Raptorista":
Questo dx di cui parli non è definito. Dividendo un numero (diciamo, a metà) infinite volte lo puoi rendere più piccolo di qualunque numero positivo, e quindi diventa zero.
Non ho ben chiaro questo concetto. La derivata di una funzione sappiamo che si calcola:
$f'(x) = lim_(h->0) (f(x+h) - f(x))/h$
Ma dividere per zero, non si può,quindi... $h$ deve essere maggiore di tale quantità?[/quote]
"Raptorista":
Qui c'è il baco. Poiché i punti sono un'infinità non numerabile, non è vero che la misura della somma sia uguale alla somma delle misure. Questo è parte della definizione di "misura positiva" che si dà in teoria della misura per rendere rigoroso il concetto di misura che intuitivamente abbiamo.
Equivale forse a dire che per gli insiemi non numerabili, non vale la proprietà associativa? Se si perchè?
"curie88":
Nel calcolo integrale (quello di Riemann) si fa la somma degli infiniti N elementi infinitesimi $dx$ moltiplicati per il valore della funzione calcolata prima in $x_i$ e poi in $x_(i - 1)$.
La domanda è: questo valore di N, è un infinito numerabile? Cioè ciascun $i$ è in corrispondenza con un numero naturale?
Sì, è il limite di una successione.
"curie88":
Non ho ben chiaro questo concetto.
\(\lim_{x\to x_0} f(x) = 0\) significa che \(f(x)\) diventa arbitrariamente piccolo, cioè minore di ogni numero \(\varepsilon > 0\).
"curie88":
La derivata di una funzione sappiamo che si calcola:
$f'(x) = lim_(h->0) (f(x+h) - f(x))/h$
Ma dividere per zero, non si può,quindi... $h$ deve essere maggiore di tale quantità?
Non dividi mai per zero quando fai il passaggio al limite. Fare il passaggio al limite significa prendere valori sempre più vicini al valore limite (0) e dedurre il trend della funzione.
"curie88":
Equivale forse a dire che per gli insiemi non numerabili, non vale la proprietà associativa? Se si perchè?
Non capisco il senso di questa frase.
"Raptorista":
Qui c'è il baco. Poiché i punti sono un'infinità non numerabile, non è vero che la misura della somma sia uguale alla somma delle misure. Questo è parte della definizione di "misura positiva" che si dà in teoria della misura per rendere rigoroso il concetto di misura che intuitivamente abbiamo.
"curie88":
Equivale forse a dire che per gli insiemi non numerabili, non vale la proprietà associativa? Se si perchè?
In effetti anche questo punto non mi è chiaro, l' ho buttata li'...
Se abbiamo le misure: $A, B, C$
la somma delle misure è:
$S = A + B + C$
la misura della somma? quale sarebbe?
ho sparato che non vale la propietà associativa perché inuitivamente potrebbe sussistere:
$ A + B + C != (A + B) + C $
con $!=$ indico diverso ( non mi apre la simbologia... )
Quello che scrivi non ha molto senso, devi essere più preciso.
Sia \(\Omega\) un certo insieme e \(\mu\) una funzione reale, definita su abbastanza sottoinsiemi di \(\Omega\), con le proprietà di misura. Siano \(A,B,C\) sottoinsiemi di \(\Omega\) non troppo brutti.
Con queste definizioni ha senso fare l'unione insiemistica (e.g. \(A \cup B\)) e la somma di numeri (\(\mu(A), \mu(A \cup B)\)).
Cerca di riformulare la tua domanda utilizzando queste notazioni.
Sia \(\Omega\) un certo insieme e \(\mu\) una funzione reale, definita su abbastanza sottoinsiemi di \(\Omega\), con le proprietà di misura. Siano \(A,B,C\) sottoinsiemi di \(\Omega\) non troppo brutti.
Con queste definizioni ha senso fare l'unione insiemistica (e.g. \(A \cup B\)) e la somma di numeri (\(\mu(A), \mu(A \cup B)\)).
Cerca di riformulare la tua domanda utilizzando queste notazioni.
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