Infinitesi campione in 0

[vincsemp]

Salve a tutti domani ho un esame e quidni vorrei togliermi l'ultimo dubbio...

Calcolare infintesimo campione in 0
(usando i limiti notevoli,o almeno credo)

f(x) = [e^4x^3 − 1 + sen(2x^2)] tutto fratto log(2x + 1)

Grazie in anticipo, è urgente

Aggiunto 3 ore 8 minuti più tardi:

Niente??

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \frac{e^{4x^3} - 1 + \sin\left(2x^2\right)}{\log(1 + 2x)}[/math]

vogliamo determinarne l'ordine di infinitesimo

[math]\alpha[/math]

per

[math]x \to 0\\[/math]

.

Applicando banalmente la definizione, si ha:

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{|x|^{\alpha}}
& = \lim_{x \to 0} \frac{\left|e^{4x^3} - 1 + \sin\left(2x^2\right)\right|}{|x|^{\alpha}\left|\log(1 + 2x)\right|}\frac{|2x|}{|2x|} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{\left|e^{4x^3} - 1 + \sin\left(2x^2\right)\right|}{|x|^{\alpha}\,|2x|} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{\left|e^{4x^3} - 1\right|}{|x|^{\alpha}\,|2x|}\frac{\left|2x^2\right|}{\left|2x^2\right|} + \lim_{x \to 0} \frac{\left|\sin\left(2x^2\right)\right|}{|x|^{\alpha}\,|2x|}\frac{|x|}{|x|} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{\left|2x^2\right|}{|x|^{\alpha}} + \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{|x|^{\alpha}} \\
& = \begin{cases} 0 & \text{se} \; \alpha < 1 \\ 1 & \text{se} \; \alpha = 1 \\ +\infty & \text{se} \; \alpha > 1 \end{cases}
\end{aligned}\\
[/math]

e quindi l'ordine di infinitesimo di

[math]f[/math]

per

[math]x \to 0[/math]

è pari ad

[math]\alpha = 1[/math]

. ;)