Infinità non numerabile di oscillazioni
ciao a tutti,questo è un quesito che mi sono posto da un po,ma non riesco con sicurezza a rispondermi.
sia f una funzione continua(se serve anche derivabile) da R in R
sia E un sottoinsieme di R di cardinalità non numerabile.
poniamo f(x)=k per ogni x appartenenti ad E (k è un reale qualsiasi fissato)
dimostrare o confutare:
esiste un intervallo [a,b] tale che f(x)=k per x appartenenti ad [a,b] (f è costante per almeno un tratto)
la domanda in se è molto semplice: se una funzione continua ha un'infinità non numerabile di oscillazioni,allora è per forza costante?
intuitivamente mi vien da dire di si,ma non riesco a dimostrarlo formalmente e l'esperienza mi dice che il mio intuito sbaglia facilmente sulle questioni di analisi..
ringrazio in anticipo per eventuali risposte(magari dimostrazioni o controesempi XD)
sia f una funzione continua(se serve anche derivabile) da R in R
sia E un sottoinsieme di R di cardinalità non numerabile.
poniamo f(x)=k per ogni x appartenenti ad E (k è un reale qualsiasi fissato)
dimostrare o confutare:
esiste un intervallo [a,b] tale che f(x)=k per x appartenenti ad [a,b] (f è costante per almeno un tratto)
la domanda in se è molto semplice: se una funzione continua ha un'infinità non numerabile di oscillazioni,allora è per forza costante?
intuitivamente mi vien da dire di si,ma non riesco a dimostrarlo formalmente e l'esperienza mi dice che il mio intuito sbaglia facilmente sulle questioni di analisi..
ringrazio in anticipo per eventuali risposte(magari dimostrazioni o controesempi XD)
Risposte
Non ho ben capito quali siano le tue ipotesi e quale la tua tesi. L'essere costante è una tua ipotesi ($f(x)=k \forall x in E$) o la tua tesi?
Inoltre, che intendi con oscillazione? Una funzione che oscilla me la immagino tutt'altro che costante, ma forse mi sfugge qualcosa ora e ti sto fraintendendo.
Inoltre, che intendi con oscillazione? Una funzione che oscilla me la immagino tutt'altro che costante, ma forse mi sfugge qualcosa ora e ti sto fraintendendo.
Formalizziamolo per bene. Io direi:
Domanda: Sia $f:RR \to RR$ continua e tale che $Z(f)={x\in RR\ |\ f(x)=0}$ è infinito non numerabile. Allora $f$ è identicamente nulla in almeno un intervallo?
@paolo: Questa domanda mi pare equivalente alla tua. Così a naso io risponderei che la cosa è falsa. Potrebbe diventare vera se aggiungiamo l'ipotesi $f \in C^1(RR)$. Ma sono tutte congetture, non lo so di preciso. E' interessante però.
P.S. : Paolo, ti consiglio di imparare a scrivere le formule con il linguaggio integrato di questo forum. Clicca sulla parola formule per istruzioni. Grazie.
Domanda: Sia $f:RR \to RR$ continua e tale che $Z(f)={x\in RR\ |\ f(x)=0}$ è infinito non numerabile. Allora $f$ è identicamente nulla in almeno un intervallo?
@paolo: Questa domanda mi pare equivalente alla tua. Così a naso io risponderei che la cosa è falsa. Potrebbe diventare vera se aggiungiamo l'ipotesi $f \in C^1(RR)$. Ma sono tutte congetture, non lo so di preciso. E' interessante però.
P.S. : Paolo, ti consiglio di imparare a scrivere le formule con il linguaggio integrato di questo forum. Clicca sulla parola formule per istruzioni. Grazie.
Direi anche io che la congettura è falsa.
Indichiamo con $C\subset [0,1]$ l'insieme di Cantor, e sia $f(x) = "dist"(x, C)$, $x\in [0,1]$.
Allora $f$ è continua e, dal momento che $C$ è chiuso, $Z(f) = C$.
Indichiamo con $C\subset [0,1]$ l'insieme di Cantor, e sia $f(x) = "dist"(x, C)$, $x\in [0,1]$.
Allora $f$ è continua e, dal momento che $C$ è chiuso, $Z(f) = C$.
Ero arrivato anch'io al controesempio di Rigel; credo proprio che in questo modo si tagli la testa al toro se [tex]$f(x)$[/tex] è da considerarsi continua.
wow grazie del controesempio, è molto piu semplice di quanto immaginassi,non me lo aspettavo
scusate se mi sono espresso in modo non particolarmente chiaro, è che fatico molto a formalizzare bene i problemi(ci sto lavorando)
invece se si aggiungesse l'ipotesi di derivabilità(o di classe $C1$)?cosa ne pensate?
a me viene istintivo pensare che,se f è abbastanza regolare,il grafico non possa schizzare su e giu troppo spesso...poi ovviamente non si sa mai
scusate se mi sono espresso in modo non particolarmente chiaro, è che fatico molto a formalizzare bene i problemi(ci sto lavorando)
invece se si aggiungesse l'ipotesi di derivabilità(o di classe $C1$)?cosa ne pensate?
a me viene istintivo pensare che,se f è abbastanza regolare,il grafico non possa schizzare su e giu troppo spesso...poi ovviamente non si sa mai
Non vorrei sbagliarmi perché non ci ho pensato a lungo, ma ho il sospetto che il controesempio possa essere costruito anche nella classe $C^{\infty}$ (per ovvi motivi non si può andare oltre).
Sia infatti $C$ il nostro insieme perfetto e mai denso (diciamo il nostro Cantor, ma all'occorrenza si può prendere anche di misura positiva).
Sia $(a,b)$ un intervallo aperto contenente $C$.
L'insieme $A = (a,b)\setminus C$ è un aperto, che si può dunque scrivere come unione numerabile di intervalli aperti disgiunti, diciamo $A = \cup_{j=1}^n (a_j, b_j)$.
Definiamo la nostra funzione $f: (a,b)\to\mathbb{R}$ ponendola uguale a $0$ in $C$, mentre
$f(x) = \exp(1/((x-a_j)(x-b_j)))$ se $x\in (a_j, b_j)$, per ogni $j\in\mathbb{N}$.
Allora $f\in C^{\infty}(a,b)$, e $Z(f) = C$.
Sia infatti $C$ il nostro insieme perfetto e mai denso (diciamo il nostro Cantor, ma all'occorrenza si può prendere anche di misura positiva).
Sia $(a,b)$ un intervallo aperto contenente $C$.
L'insieme $A = (a,b)\setminus C$ è un aperto, che si può dunque scrivere come unione numerabile di intervalli aperti disgiunti, diciamo $A = \cup_{j=1}^n (a_j, b_j)$.
Definiamo la nostra funzione $f: (a,b)\to\mathbb{R}$ ponendola uguale a $0$ in $C$, mentre
$f(x) = \exp(1/((x-a_j)(x-b_j)))$ se $x\in (a_j, b_j)$, per ogni $j\in\mathbb{N}$.
Allora $f\in C^{\infty}(a,b)$, e $Z(f) = C$.
"Rigel":
L'insieme $A = (a,b)\setminus C$ è un aperto, che si può dunque scrivere come unione numerabile di intervalli aperti disgiunti, diciamo $A = \cup_{j=1}^n (a_j, b_j)$.
ma ammettendo che A sia scrivibile cosi,non stiamo garantemdo che C contenga almeno un'intervallo opure sia numerabile?
No.
Ogni sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}$ può essere scritto in quel modo.
In pratica, ciascuno degli $(a_j, b_j)$ è una componente connessa di $A$.
Questa semplice struttura è caratteristica di $\mathbb{R}$ e non ha analogo in $\mathbb{R}^n$ per $n>1$.
La dimostrazione non è immediata; la trovi, ad esempio, su Hewitt & Stromberg, Real and Abstract Analysis, Thm. 6.59.
Ogni sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}$ può essere scritto in quel modo.
In pratica, ciascuno degli $(a_j, b_j)$ è una componente connessa di $A$.
Questa semplice struttura è caratteristica di $\mathbb{R}$ e non ha analogo in $\mathbb{R}^n$ per $n>1$.
La dimostrazione non è immediata; la trovi, ad esempio, su Hewitt & Stromberg, Real and Abstract Analysis, Thm. 6.59.
Mi rinfrescate la memoria sulle definizioni, per favore? Un insieme è "perfetto" quando ogni proprio punto è di accumulazione, se non sbaglio. Ma "mai denso" cosa significa?
Comunque, se $C$ è l'insieme di Cantor secondo me la costruzione di Rigel va bene e anzi mi garba parecchio. Questa è una ulteriore conferma di quanto il concetto di "cardinalità" non sia adeguato a misurare la grandezza di un insieme.
Comunque, se $C$ è l'insieme di Cantor secondo me la costruzione di Rigel va bene e anzi mi garba parecchio. Questa è una ulteriore conferma di quanto il concetto di "cardinalità" non sia adeguato a misurare la grandezza di un insieme.
Perfetto: chiuso e ogni suo punto è punto di accumulazione.
Mai denso (nowhere dense): la sua chiusura non contiene alcun aperto non vuoto.
Un prototipo è, per l'appunto, l'insieme di Cantor.
Mai denso (nowhere dense): la sua chiusura non contiene alcun aperto non vuoto.
Un prototipo è, per l'appunto, l'insieme di Cantor.
ok,allora questione risolta
grazie per l'attenzione
grazie per l'attenzione
Aaahhhnnn finalmente ho capito. Rigel, tu prendi un insieme $C$ perfetto perché così sei sicuro che esso è chiuso e più che numerabilmente infinito, è questo che ti serve. Da qui costruisci una funzione $f$ e ottieni che $Z(f)=C$. Se $C$ è mai denso allora $Z(f)$ non contiene intervalli. E si. E poi facendo così ti lasci la porta aperta alla possibile obiezione: $C$ deve per forza avere misura nulla? No, ci sono insiemi perfetti e mai densi di misura positiva: quindi non è neanche questione di misura.
Ok. Mi sono convinto. Grazie Rigel!
Ok. Mi sono convinto. Grazie Rigel!
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