Inf e sup per domini in 2 variabili

[rikkaet3]

vorrei sapere se esiste un metodo standard per trovare inf e sup su insieme non chiusi e vedere se si tratta di massimo o di minimo
inoltre vorrei sapere come risolvere questo esercizio :
$ D: {xyz=1 ; x,y,z>=0} $
$f : x+y+z $

trovare inf e sup di f in D specificando se si tratta di max o min

[porzio1]

i punti del dominio $D$ sono tali che $x>0,y>0,z>0$ e $z=1/(xy)$
il problema equivale a studiare la funzione $g(x,y)=x+y+1/(xy)$ per $x>0,y>0$

[rikkaet3]

si fino a li c'ero ma non so ancora come studiarla , esiste un metodo standard di trattare questi casi ?

[porzio1]

bisogna studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio e confrontare con i valori che essa assume negli eventuali punti di massimo o minimo relativo

nel tuo caso si vede subito che,ad esempio,per $ x,yrarr+infty $ la funzione tende $+infty$ e quindi non è limitata superiormente
ti lascio per esercizio verificare che la funzione ha un punto di minimo relativo ed assoluto nel punto $A(1,1) $

[rikkaet3]

vorrei anche sapere come si vede se un dominio è limitato o illimitato
nel caso in cui sia limitato come devo procedere ?