\( \inf \) e \( \sup \) nei reali estesi
Ciao! Sia \( S \) un insieme non vuoto e non superiormente limitato in \( \mathbb{R} \). Voglio assicurarmi che \( \sup_{\widetilde{\mathbb{R}}} S = +\infty \) disponendo di una definizione dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \).
Premessa: Considero l'insieme dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come l'insieme \( \mathbb{R} \) a cui vengono aggiunti i due simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) tali che per ogni elemento \( x\in\mathbb{R} \) è \( x\neq\pm\infty \), oltre ad un ordinamento totale \( \leqq \) che \( -\infty\leqq x\leqq+\infty \).
Dove non indicato esplicitamente, la relazione d'ordine che compare \( {\leqq} \) è quella del poset dei reali estesi. Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).
Da questa (buona?) definizione discende ovviamente l'unicità di cose con la proprietà di \( \pm\infty \): \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è un poset di cui i due simboli sono rispettivamente il minimo ed il massimo.
Proposizione: Sia \( \emptyset\neq S\subset\mathbb{R} \); \( S \) non limitato superiormente in \( \mathbb{R} \) (l'insieme dei maggioranti reali di \( S \), \( S_{\mathbb{R}}^{*} \), è vuoto); allora \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi è \( \{+\infty\} \).
Dimostrazione Che sia \( +\infty \) maggiorante di \( S \) è ovvio. Sia \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \) un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, e sia \( x\in\mathbb{R} \). Se \( x\in S \), allora per def. di maggiorante è \( x\leqq m \). Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.
È accettabile? Si può migliorare?
EDIT: Corretto l'errore di battitura nella dimostrazione (parte incriminata in grassetto), notato dopo l'intervento di @fmnq
Premessa: Considero l'insieme dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come l'insieme \( \mathbb{R} \) a cui vengono aggiunti i due simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) tali che per ogni elemento \( x\in\mathbb{R} \) è \( x\neq\pm\infty \), oltre ad un ordinamento totale \( \leqq \) che \( -\infty\leqq x\leqq+\infty \).
Dove non indicato esplicitamente, la relazione d'ordine che compare \( {\leqq} \) è quella del poset dei reali estesi. Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).
Da questa (buona?) definizione discende ovviamente l'unicità di cose con la proprietà di \( \pm\infty \): \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è un poset di cui i due simboli sono rispettivamente il minimo ed il massimo.
Proposizione: Sia \( \emptyset\neq S\subset\mathbb{R} \); \( S \) non limitato superiormente in \( \mathbb{R} \) (l'insieme dei maggioranti reali di \( S \), \( S_{\mathbb{R}}^{*} \), è vuoto); allora \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi è \( \{+\infty\} \).
Dimostrazione Che sia \( +\infty \) maggiorante di \( S \) è ovvio. Sia \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \) un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, e sia \( x\in\mathbb{R} \). Se \( x\in S \), allora per def. di maggiorante è \( x\leqq m \). Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.
È accettabile? Si può migliorare?
EDIT: Corretto l'errore di battitura nella dimostrazione (parte incriminata in grassetto), notato dopo l'intervento di @fmnq
Risposte
Ciao! Finalmente qualcosa di bello!
Parto con una breve considerazione per poi proseguire quando sono più fresco, perché ora non lo sono tanto.
"sse"? A dire "se e solo se"? Stando così le cose, le due relazioni sarebbero uguali, no?
Parto con una breve considerazione per poi proseguire quando sono più fresco, perché ora non lo sono tanto.
"marco2132k":
Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).
"sse"? A dire "se e solo se"? Stando così le cose, le due relazioni sarebbero uguali, no?
grazie per la risposta!
Allora per ogni \( x, y \in\mathbb{R} \), è \( (x,y)\in{\leqq} \) se e solo se \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \), mentre ciò non vale per tutti gli elementi di \( \widetilde{\mathbb{R}} \).
"Indrjo Dedej":Certo.
"sse"? A dire "se e solo se"?
"Indrjo Dedej":No. Per ora definisco l'ordine \( {\leqq} \) in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come, detto \( {\leqq}_{\mathbb{R}} \) l'ordine canonico sui reali, \( {\leqq}:={\leqq}_{\mathbb{R}}\cup\{(-\infty, x):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x, +\infty):x\in\mathbb{R}\} \), dove per definizione i simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) differiscono da ogni \( x\in\mathbb{R} \). Questa cosa voglio sia un ordine totale.
Stando così le cose, le due relazioni sarebbero uguali, no?
Allora per ogni \( x, y \in\mathbb{R} \), è \( (x,y)\in{\leqq} \) se e solo se \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \), mentre ciò non vale per tutti gli elementi di \( \widetilde{\mathbb{R}} \).
"marco2132k":
se fosse \( m\not\leqq x\) (ossia \( x < m\)
Qui c'è un garbuglio
perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)).
Ciò che lo rende assurdo è l'unicità di \(\pm\infty\).
"marco2132k":
definisco l'ordine \( {\leqq} \) in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come, detto \( {\leqq}_{\mathbb{R}} \) l'ordine canonico sui reali, \( {\leqq}:={\leqq}_{\mathbb{R}}\cup\{(-\infty, x):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x, +\infty):x\in\mathbb{R}\} \), dove per definizione i simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) differiscono da ogni \( x\in\mathbb{R} \).
Così va meglio, non credi?
Ciao! Io la farei più breve; osserverei che
- [*:1b4lw1ya] se \( m\in S^\ast_{\widetilde{\mathbb{R}}}\) e $S$ non è limitato superiormente in $RR$, allora $m\in RR\cup \{+\infty\}$ (in altre parole, cominci escludendo che $m=-\infty$);[/*:m:1b4lw1ya]
[*:1b4lw1ya] non può essere \(m <_{\widetilde{\mathbb{R}}} +\infty\), altrimenti $S$ non sarebbe limitato superiormente in $RR$ (in quanto $m$ sarebbe un suo maggiorante in $RR$).[/*:m:1b4lw1ya][/list:u:1b4lw1ya]
Allora, cominciamo dall'inizio 
@fmnq L'ho notato solo ora, perdonami, è un errore di battitura: intendevo scrivere nell'OP[nota]Che ho appena editato.[/nota] (vd. correzione in grassetto):
@Indrjo Dedej
@Plepp Ad una cosa simile effetti ci ho pensato anch'io, però non capisco una cosa.
Volendo dimostrare che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}=\left\{+\infty\right\} \), assumerei il contrario; allora deve essere, per qualche \( +\infty\neq x\in\widetilde{\mathbb{R}} \), \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) (dato che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}\subset\widetilde{\mathbb{R}} \) e \( +\infty \) è un maggiorante nei reali estesi di \( S \)). A questo punto osserverei che non essendo \( -\infty \) un maggiorante di \( S \), dovrebbe necessariamente esserlo un numero reale (ricordando che sto definendo \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \)), cosa evidentemente assurda, dato che per ipotesi \( S_{\mathbb{R}}^{*} \) (i maggioranti reali di \( S \)) è vuoto. \( \square \)
Ora, ciò che provi tu è (credo) lo stesso che sto provando io, parò assumi che \( S \) sia superiormente limitato: perché? Credo sia un semplice errore di battitura, dato che il tuo ragionamento mi sembra uguale a quello appena fatto.
@fmnq L'ho notato solo ora, perdonami, è un errore di battitura: intendevo scrivere nell'OP[nota]Che ho appena editato.[/nota] (vd. correzione in grassetto):
"me stesso":
Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi [...]
"me stesso":Qui intendo dire che se tale \( x\in\mathbb{R} \) fosse \( m\leqq x \), \( x\neq m \) (dove \( {\leqq} \) è l'ordine sui reali estesi) allora \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi; ossia, per ogni \( h\in S \), sarebbe \( h\leqq x \). Però (\( S \) non è vuoto comunque) avremmo allora che per ogni \( h\in S \) è \( h\leqq_{\mathbb{R}}x \) (relazione d'ordine canonica sui reali), e quindi (\( x\in\mathbb{R} \)) sarebbe automaticamente \( x\in S_{\mathbb{R}}^{*} \), insieme dei maggioranti reali di \( S \), che è vuoto.
[...]cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.
@Indrjo Dedej
"Indrjo Dedej":Ti confesso che non mi è chiaro cosa ha di diverso quello che hai riportato tu dal messaggio originale
Così va meglio, non credi?
@Plepp Ad una cosa simile effetti ci ho pensato anch'io, però non capisco una cosa.
Volendo dimostrare che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}=\left\{+\infty\right\} \), assumerei il contrario; allora deve essere, per qualche \( +\infty\neq x\in\widetilde{\mathbb{R}} \), \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) (dato che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}\subset\widetilde{\mathbb{R}} \) e \( +\infty \) è un maggiorante nei reali estesi di \( S \)). A questo punto osserverei che non essendo \( -\infty \) un maggiorante di \( S \), dovrebbe necessariamente esserlo un numero reale (ricordando che sto definendo \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \)), cosa evidentemente assurda, dato che per ipotesi \( S_{\mathbb{R}}^{*} \) (i maggioranti reali di \( S \)) è vuoto. \( \square \)
Ora, ciò che provi tu è (credo) lo stesso che sto provando io, parò assumi che \( S \) sia superiormente limitato: perché? Credo sia un semplice errore di battitura, dato che il tuo ragionamento mi sembra uguale a quello appena fatto.
"marco2132k":
@Plepp Ad una cosa simile effetti ci ho pensato anch'io, però non capisco una cosa.
Volendo dimostrare che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}=\left\{+\infty\right\} \), assumerei il contrario; allora deve essere, per qualche \( +\infty\neq x\in\widetilde{\mathbb{R}} \), \( x\in S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) (dato che \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*}\subset\widetilde{\mathbb{R}} \) e \( +\infty \) è un maggiorante nei reali estesi di \( S \)). A questo punto osserverei che non essendo \( -\infty \) un maggiorante di \( S \), dovrebbe necessariamente esserlo un numero reale (ricordando che sto definendo \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\} \)), cosa evidentemente assurda, dato che per ipotesi \( S_{\mathbb{R}}^{*} \) (i maggioranti reali di \( S \)) è vuoto. \( \square \)
Ora, ciò che provi tu è (credo) lo stesso che sto provando io, parò assumi che \( S \) sia superiormente limitato: perché? Credo sia un semplice errore di battitura, dato che il tuo ragionamento mi sembra uguale a quello appena fatto.
Si scusa, è stata una svista. Ho corretto il post
"Indrio":Non sono d'accordo; questo thread mi ricorda quest'altro, recente, in algebra lineare:
finalmente qualcosa di bello
viewtopic.php?p=8388885#p8388885
"dissonance":
Non sono d'accordo
[ot]In effetti anch'io io sono d'accordo solo in parte: è una cosa piuttosto banale e "vuota". Però sono alle prime armi @dissonance
, 'ste verifiche mi aiutano a farmi un'idea più profonda della portata delle definizioni.[/ot]
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