Inf e sup di un insieme con parametro

[giupar93]

Ciao a tutti ragazzi, ho questo insieme di cui devo calcolare inf e sup:

$ X={k^[log_(1/2)(sqrt(n-1)/n)]: n in mathbb(N) >=2 } $

Sono riuscito solo a considerare che $log_(1/2)(sqrt(n-1)/n)$ è una successione monotona decrescente, è corretto?

Fatta questa considerazione, non riesco a capire per quali valori di k l'intera successione mantiene o meno la monotonia. POtete darmi una mano?

Spero di essere stato chiaro.

Grazie mille anticipatamente a tutti e buona domenica.

[anto_zoolander]

Mi piace questo esercizio. Vedo di aiutarti

allora intanto consideriamo $A={x=k^(log_(1/2)(sqrt(n-1)/n)):ninNgeq2}$

$log_(1/2)(sqrt(n-1)/n) = -log_(2)(sqrt(n-1)/n)$

quindi l'esponente sembra una successione decrescente, ma non lo è perché l'argomento è una frazione propria ovvero $m/n , m
$-log_(2)(sqrt(n-1)/n) = -log_(2)(sqrt(n-1))+log_(2)(n)$ notiamo che $log_(2)(n)geq-log_(2)(n-1)/2$ definitivamente. In particolare per $ngeq2$

$A={x=k^(-log_(2)(sqrt(n-1)/n)):ninNgeq2}$

adesso cominciamo a lavorare sull'insieme. $k$ per forza di cose deve essere $kgeq0$

Premettiamo che si tratta di una successione iniettiva definita come $a_n:[2,+infty[ -> R$
abbiamo trovato che comunque preso $ngeq2$ verrà un esponente positivo, quindi possiamo considerare $k=0$ che ci restituirà banalmente un insieme che è dato da $x=0$ ovvero una retta dove $INF_A=SUP_A=0$

- caso $0
essendo $a_n$ iniettiva e monotona strettamente decrescente possiamo sostituire gli estremi dell'insieme per trovare $INF_A, SUP_A$

NB= essendo strettamente decrescente per basi comprese tra $0$ e $1$ l'estremo superiore coinciderà con l'estremo inferiore dell'insieme di partenza, ovvero $2$ poiché vale $f(n_1)>f(n_2) <=> n_12$ si avrà che $f(n_2)
$a_2=1/(z^(-log_(2)(sqrt(2-1)/2)))=1/(z^(-log_(2)(1/2)))=1/z=k$ ovvero $SUP_A=k$ se $0
per l'estremo inferiore basterà calcolare il limite:

$lim_(n->+infty)1/(z^(-log_(2)(sqrt(n-1)/n))$ che sarà $lim_(n->+infty)1/(z^(-log_(2)(|n|sqrt(1/n-1/n^2)/n))$ essendo $n->+infty$ positivo allora possiamo semplificare i moduli ottenendo come risultato

$lim_(n->+infty)1/(z^(-log_(2)(0^+)))=1/z^(+infty)=0$

abbiamo trovato che $INF_A=0$ se $0
- caso $k=1$ otteniamo banalmente la retta $x=1 forall ngeq2$ dove $INF_A=SUP_A=1$

- caso $k>1$

intanto in questo caso la successione è monotóna strettamente crescente poiché l'esponente è crescente e la base è positiva. Quindi avremo $f(n_2)>f(n_1) <=> n_2>n_1$ prendendo $20$

$a_2=k^(-log_(2)(sqrt(2-1)/2))=k^-(-1)$ come detto.

Per il superiore basta fare il limite sempre per $n->+infty$

$lim_(n->+infty)k^(-log_(2)(sqrt(n-1)/n))=lim_(n->+infty)k^(-log_(2)(|n|sqrt(1/n-1/n^2)/n))$ siccome $n->+infty$ può essere considerato positivo e quindi $|n|=n$

$lim_(n->+infty)k^(-log_(2)(sqrt(1/n-1/n^2)))=lim_(n->+infty)k^(-log_(2)(sqrt(1/(+infty)-1/(+infty))))=lim_(n->+infty)k^(-log_(2)(0^+))$

il motivo per cui viene $log_(2)(0^+)$ è perché $1/n^2$ tende a $0$ più velocemente di $1/n$ infatti se li confrontiamo

$1/n>1/n^2 => n^2>n => n(n-1)>0 => n<0 wedge n>1$ infatti $forallninNgeq2, 1/n>1/n^2$ quindi a maggior ragione varrà se $n->+infty$

$lim_(n->+infty)k^(+infty)=+infty$

Spero di essere stato d'aiuto

[giupar93]

Grazie mille, sei stato molto d'aiuto!