Inf e sup di un insieme
ciao qualcuno sa spiegarmi come fare analiticamente a trovare il sup e inf di un insieme? ad esempio n-1/n ?
thanks
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Risposte
Nel caso specifico di $n-1/n$ guarderei la derivata prima di $x-1/x$ per verificare eventuali monotonie, e infatti su tutto \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) è $1+1/x^2$, che è positiva, sicché la funzione definita da $f(x)=x-1/x$ è strettamente crescente, per cui la stessa funzione ristretta ai naturali $f|_{\mathbb{N}^+}(n)=n-1/n$ assume il suo minimo per il più piccolo naturale per cui è definita: 1, quindi \(\inf\{n-1/n:n\in\mathbb{N}^+\}=1\). D'altra parte la funzione cresce arbitrariamente per $n\to+\infty$, cioè $\lim_{n\to\+infty} n-1/n=+\infty$, quindi \(\sup\{n-1/n:n\in\mathbb{N}^+\}=+\infty\).
Non direi che si possa descrivere una sorta di algoritmo operativo valido in qualunque caso, ma lascio la parola agli esperti.
Non direi che si possa descrivere una sorta di algoritmo operativo valido in qualunque caso, ma lascio la parola agli esperti.
Forse intendevi $(n-1)/n = 1-1/n$?
Se gli esercizi che stai facendo sono quelli introduttivi ad analisi 1, secondo me più che trovare l'estremo superiore (o inf), lo intuisci e poi dimostri che è proprio lui applicando la definizione.
In questo caso vedi a occhio che sup = 1. Dimostriamolo:
secondo la definizione 1 è estremo superiore se per qualunque $\epsilon >0$ esiste un elemento dell'insieme (quindi un numero della forma $(n-1)/n$) compreso fra $1 - \epsilon $ e $1$. Ci chiediamo quindi: esiste n tale che
$1-\epsilon < 1 - 1/n < 1$?
sì, esiste: basta prendere $n > 1/ \epsilon$. Quindi 1 è estremo superiore.
Ps. Ah è il tuo primo messaggio! Benvenuto
Se gli esercizi che stai facendo sono quelli introduttivi ad analisi 1, secondo me più che trovare l'estremo superiore (o inf), lo intuisci e poi dimostri che è proprio lui applicando la definizione.
In questo caso vedi a occhio che sup = 1. Dimostriamolo:
secondo la definizione 1 è estremo superiore se per qualunque $\epsilon >0$ esiste un elemento dell'insieme (quindi un numero della forma $(n-1)/n$) compreso fra $1 - \epsilon $ e $1$. Ci chiediamo quindi: esiste n tale che
$1-\epsilon < 1 - 1/n < 1$?
sì, esiste: basta prendere $n > 1/ \epsilon$. Quindi 1 è estremo superiore.
Ps. Ah è il tuo primo messaggio! Benvenuto
Mi viene in mente una cosa: non credo si possa parlare in generale di metodo analitico per il calcolo dell'estremo superiore (o inferiore) di un insieme perché un insieme può anche essere fatto di elementi "caotici", che non sono legati a una "legge" come può essere quella individuata da una successione scritta attraverso la sua "formula"; l'estremo superiore, inoltre non è legato necessariamente al concetto di funzione, secondo me, quindi non è detto che l'insieme di cui si vuol trovare il sup sia il codominio di una funzione.
Ci sono casi in cui puoi calcolare l'estremo superiore, per esempio quando il tuo insieme consiste nei termini di una successione crescente, perché esiste un teorema che afferma che il limite di una successione crescente coincide con il suo estremo superiore (eventualmente infinito). Allora in quel caso puoi calcolare il limite (quindi il sup) "con metodo".
In altri casi non saprei dirti. Sentiamo altre idee...
Ci sono casi in cui puoi calcolare l'estremo superiore, per esempio quando il tuo insieme consiste nei termini di una successione crescente, perché esiste un teorema che afferma che il limite di una successione crescente coincide con il suo estremo superiore (eventualmente infinito). Allora in quel caso puoi calcolare il limite (quindi il sup) "con metodo".
In altri casi non saprei dirti. Sentiamo altre idee...
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