Inf e sup di funzione continua per incremento di variabile che tende a zero
Salve a tutti,
sto riguardando una dimostrazione del secondo teorema fondamentale del calcolo.
A un certo punto usa il seguente fatto:
se $f:[a,b]\to R $ è continua in $x\_0 \in [a,b] $ allora
inf$(f)\_(x\_0+h,x\_0) rarr f(x\_0) $ per $ h rarr 0^+$
inf$(f)\_(x\_0+h,x\_0) rarr f(x\_0) $ per $ h rarr 0^+$
credo di capire perchè sia vero, ma non riesco a giustificarlo formalmente. Potreste darmi una mano? grazie mille
sto riguardando una dimostrazione del secondo teorema fondamentale del calcolo.
A un certo punto usa il seguente fatto:
se $f:[a,b]\to R $ è continua in $x\_0 \in [a,b] $ allora
inf$(f)\_(x\_0+h,x\_0) rarr f(x\_0) $ per $ h rarr 0^+$
inf$(f)\_(x\_0+h,x\_0) rarr f(x\_0) $ per $ h rarr 0^+$
credo di capire perchè sia vero, ma non riesco a giustificarlo formalmente. Potreste darmi una mano? grazie mille
Risposte
Siccome \(f\) è continua, per il teorema di Weierstrass esiste un punto \(\xi(h)\in [x_0, x_0+h]\) tale che
\[
\inf_{[x_0, x_0+h]} f = f(\xi(h)).\]
Se \(h\to 0\) allora \(\xi(h)\to x_0\), perché per definizione \(x_0\le \xi(h)\le x_0+h\). E quindi, ancora per continuità di \(f\),
\[
\lim_{h\to 0} f(\xi(h))=f(x_0).\]
\[
\inf_{[x_0, x_0+h]} f = f(\xi(h)).\]
Se \(h\to 0\) allora \(\xi(h)\to x_0\), perché per definizione \(x_0\le \xi(h)\le x_0+h\). E quindi, ancora per continuità di \(f\),
\[
\lim_{h\to 0} f(\xi(h))=f(x_0).\]
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