Inf e Sup della norma di f(x,y) su uno spazio normato
Salve,studiano,come consigliatemi sul forum,su un libro(no dispense o altro),mi sono imbattuto in un argomento che non mi è molto chiaro,cioè l' \( inf \) e il $su p$ di $||f(x,y)||$(e se proprio non chiedo troppo anche per un funzionale $F[||u(x,y)||]$,dove $u$ sia una funzione $C^1[-oo,+oo]$),tale che \( x,y\in M \) ,dove \( M \) è uno spazio vettoriale normato,definito $[-oo,+oo]$ sull'intervallo .Se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi questi concetti?
p.s:Ho precisato quel particolare tipo di spazio,proprio perché in insiemi finiti,"credo" di aver capito il concetto
p.s:Ho precisato quel particolare tipo di spazio,proprio perché in insiemi finiti,"credo" di aver capito il concetto
Risposte
Hai fatto di nuovo un minestrone confuso di roba sbagliata, devi fare un altro passo indietro.
Prendi un insieme \(A \subseteq \mathbb R\): sai cosa sono l'inf e il sup di \(A\)?
Prendi una funzione \(f(x) : \mathbb [a,b] \to \mathbb R\): sai cosa sono l'inf e il sup di \(f\)?
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Prendi un insieme \(A \subseteq \mathbb R\): sai cosa sono l'inf e il sup di \(A\)?
Prendi una funzione \(f(x) : \mathbb [a,b] \to \mathbb R\): sai cosa sono l'inf e il sup di \(f\)?
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Se non sbagli,l'inf e il sup,sono rispettivamente,il piu grande dei minoranti e il piu piccolo dei maggioranti,e poi nel caso esistano il minimo e il massimo,dovrebbero coincidere.Ma in caso generale,non so come trovarli
Questa risposta è fuori tema, ti spiace rispondere a quello che ti ho chiesto? Mi hai detto cosa si intende per inf e sup di un insieme, adesso sai dirmi cosa si intende per inf e sup di una funzione?
Come nota separata: il tuo modo di scrivere è veramente pessimo, ti spiace prestare un po' più di attenzione a ortografia e punteggiatura?
Come nota separata: il tuo modo di scrivere è veramente pessimo, ti spiace prestare un po' più di attenzione a ortografia e punteggiatura?
Scusami,comunque,per quanto riguarda una funzione,dovrebbero essere la stessa cosa per l'insieme \( f^{-1}(R) \) tra l'intervallo \( [a,b] \) ,giusto?
Perché \(f^{-1}(R)\)? Questo è sbagliato.
Pensavo,che se quello non appartenesse a $R$ allora,non potevano esserci un inf e un sup.Se la risposta è sbagliata,allora non conosco quella giusta.
"mklplo":
Pensavo,che se quello non appartenesse a $R$ allora,non potevano esserci un inf e un sup.
Non ho capito una singola parola, nemmeno dopo aver sistemato le virgole.
Il sup di una funzione è quella cosa che hai scritto prima, ma in termini pratici è il massimo valore a cui la funzione "si avvicina" [nel senso dei maggioranti] o che assume [se è anche un max]. Quindi il sup dev'essere una cosa dell'immagine di una funzione, non del dominio! Il sup di una funzione definita su un dominio \(D\) è il sup di \(f(D)\). Se il sup è un max, allora l'argmax di \(f\) è l'elemento \(x_M \in D\) tale che \(f(x_M) = \max f\). Adesso dovrebbe esserti chiaro che la tua domanda originale è mal posta perché, siccome la norma è una funzione, inf e sup di una norma sono i normali inf e sup di una funzione qualunqune.
Ti ringrazio.
La mia domanda mi è sorta quando ho letto che in uno spazio metrico,
\( d(A,B)=inf_{x\in A,y\in B}||x-y|| \)
e non ne capivo il senso,e anche ora,non vedo come usare quella nozione per capirla.
La mia domanda mi è sorta quando ho letto che in uno spazio metrico,
\( d(A,B)=inf_{x\in A,y\in B}||x-y|| \)
e non ne capivo il senso,e anche ora,non vedo come usare quella nozione per capirla.
Presumo che quella sia la distanza tra due insiemi, giusto?
Prendi due cerchi nel piano: qual è la distanza tra i due cerchi? In questo caso è facile prendere la retta che passa per i centri, intersecare con i bordi dei cerchi e prendere la distanza del segmento congiungente. Nel caso di insiemi di forma più strana, come si fa a dire qual è la distanza? Prendi due punti qualunque \(x\) e \(y\) del primo e del secondo insieme, rispettivamente, e guardi quanto sono distanti. Quando hai trovato la distanza inferiore tra tutte le coppie possibili, quella è la distanza tra gli insiemi. L'inf è necessario perché gli insiemi potrebbero non contenere il bordo, ad esempio \(A = [0,1)\) e \(B = (2,3]\).
Prendi due cerchi nel piano: qual è la distanza tra i due cerchi? In questo caso è facile prendere la retta che passa per i centri, intersecare con i bordi dei cerchi e prendere la distanza del segmento congiungente. Nel caso di insiemi di forma più strana, come si fa a dire qual è la distanza? Prendi due punti qualunque \(x\) e \(y\) del primo e del secondo insieme, rispettivamente, e guardi quanto sono distanti. Quando hai trovato la distanza inferiore tra tutte le coppie possibili, quella è la distanza tra gli insiemi. L'inf è necessario perché gli insiemi potrebbero non contenere il bordo, ad esempio \(A = [0,1)\) e \(B = (2,3]\).
Ti ringrazio nuovamente,ma quindi,se volessi sapere a quanto corrisponde la distanza,cosa dovrei fare considerando due insiemi infiniti(sempre se abbia senso porsi questa domanda)?
La domanda ha senso, per esempio \(A = (-\infty, 0)\) e \(B = (1,+\infty)\). Per calcolare la distanza devi applicare la definizione, o cercare qualche scorciatoia usando le proprietà del caso che hai sotto mano. Considera comunque che molto spesso è poco importante saper calcolare effettivamente una quantità in un caso estremamente generale, mentre ciò che conta è conoscerne la definizione e le proprietà.
Perchè il saper calcolare una quantità in un caso generale,non è particolarmente importante?
p.s:la distanza fra i due insiemi A e B,i quali hai definito nel messaggio prima di questo, risulta essere 1(giusto per vedere se ho capito il concetto)?
p.s:la distanza fra i due insiemi A e B,i quali hai definito nel messaggio prima di questo, risulta essere 1(giusto per vedere se ho capito il concetto)?
Non è importante innanzitutto perché spesso è impossibile, e poi perché basta sapere che un certo oggetto con la proprietà che ti interessa esista, per poi usarlo per altre cose.
Gli insiemi dell'ultimo esempio hanno distanza 1, sì. Nota come in questo caso non esistano due punti \(x \in A\) e \(y \in B\) la cui distanza sia 1, però l'utilizzo dell'inf nella definizione permette di recuperare il valore corretto, che è appunto 1.
Gli insiemi dell'ultimo esempio hanno distanza 1, sì. Nota come in questo caso non esistano due punti \(x \in A\) e \(y \in B\) la cui distanza sia 1, però l'utilizzo dell'inf nella definizione permette di recuperare il valore corretto, che è appunto 1.
Grazie,ora penso,o almeno spero,di aver capito questo concetto.
Per curiosità, che libro stai leggendo?
Real and Functional Analysis,Serge Lang,third edition
Perché non cominci con un libro di analisi 1 invece?
Perché,per rispondere ad alcuni dubbi che ho mi serve conoscere un po' di analisi reale,complessa e funzionale.
Da quello che scrivi è evidente che non ti sono chiari nemmeno alcuni concetti base dell'analisi. Ti sei incamminato in un percorso molto accidentato, buona fortuna.
Grazie,penso di non sapere cosa mi aspetta,ma già leggendo i primi 4 capitoli,e studiandoli mi sono reso conto di non essere in grado di fare alcun esercizio.Continuo con la speranza che in futuro possa capirli
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