Inerzia dell'ellisse e dell'ellissoide
Ho messo questo post in matematica perchè in effetti non stiamo parlando di situazioni fisiche o problemi fisici, ma di modellizzazione astratta tramite il calcolo integrale, quindi chiedo innanzitutto che non venga considerata off topic!:)
Vorrei caldcolare il momento d'inerzia dell''ellisse di semiassi ab. Volevo sapere se secondo voi il mio ragionamento è giusto.
Poniamo un sistema di riferimento che ha l'origine nel centro geometrico dell'ellisse. Vorrei considerare l'ellisse come un insieme fitto di bastoncini di lunghezza 2x e di altezza dy. Per il teorema di Huygens Steiner abbiamo che ogni "bacchettina" avrà momento di inerzia
(1) $dI = 1/(12) (2x)^2 dm + y^2 dm$
espressione di dm
(2) $dm=\sigma 2xdy$
sostituendo nella 1)
(3) $ dI = 1/(12) 4x^2 \sigma 2xdy+ y^2 2x\sigmady$
Dalla relazione algebrica $ x^2/a^2+y^2/b^2=1$ traiamo le seguenti formule
(4) $y^2=b^2/a^2(a^2-x^2)$
(5) $dy=-b/a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$
La (6) è l'espressione finale (quella che devo integrare da -a ad a
(6) $dI= -1/(12) 4x^2\sigma 2x b/a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}-b^2/a^2(a^2-x^2)2x b/a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\sigma dx
Queste 6 espressioni sono corrette, contengono errori?
Vorrei caldcolare il momento d'inerzia dell''ellisse di semiassi ab. Volevo sapere se secondo voi il mio ragionamento è giusto.
Poniamo un sistema di riferimento che ha l'origine nel centro geometrico dell'ellisse. Vorrei considerare l'ellisse come un insieme fitto di bastoncini di lunghezza 2x e di altezza dy. Per il teorema di Huygens Steiner abbiamo che ogni "bacchettina" avrà momento di inerzia
(1) $dI = 1/(12) (2x)^2 dm + y^2 dm$
espressione di dm
(2) $dm=\sigma 2xdy$
sostituendo nella 1)
(3) $ dI = 1/(12) 4x^2 \sigma 2xdy+ y^2 2x\sigmady$
Dalla relazione algebrica $ x^2/a^2+y^2/b^2=1$ traiamo le seguenti formule
(4) $y^2=b^2/a^2(a^2-x^2)$
(5) $dy=-b/a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$
La (6) è l'espressione finale (quella che devo integrare da -a ad a
(6) $dI= -1/(12) 4x^2\sigma 2x b/a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}-b^2/a^2(a^2-x^2)2x b/a\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\sigma dx
Queste 6 espressioni sono corrette, contengono errori?
Risposte
I passaggi "fisici" (1) (2) (3) vanno bene.
A quel punto puoi tranquillamente integrare in y tra -b e +b sostituendo la x con l'epressione ottenuta esplicitando l'equazione dell'ellisse e senza dover calcolare un altro differenziale.
A quel punto puoi tranquillamente integrare in y tra -b e +b sostituendo la x con l'epressione ottenuta esplicitando l'equazione dell'ellisse e senza dover calcolare un altro differenziale.
Intendi dire che devo integrare in dm, cioè "per massa"?
Sostituisci nella (3) a x la sua espressione in y e poi integri in y.
Ma è quello che ho fatto...
Tu hai sostituito in y la sua espressione in funzione di x, hai dovuto trasformare dy in funzione di dx e poi hai integrato in x.
Cerco di cambiare la 3
Riguardo all'ellisse mi è venuto! Ora volevo provare con un ellissoide di semiassi a e b. Ho pensato di integrare per cerchi di spessore infinitesimo di raggio r (con r che varia da 0 a b ovviamente). r praticamente è la coordinata y. Ditemi come vi sembra l'impostazione
(1) $ dI = 1/4 r^2 dm + x^2 dm$ usando sempre Huygens-Steiner. Sapendo che $dm=\pi r^2 dx$ e che $y^2=b^2/a^2(a^2-x^2)$ ho riscritto come (tenendo conto anche che r è nient'altro che la coordinata y)
(2) $ dI=1/4 b^4/a^4(a^2-x^2)^2\pi dx + \pi b^2/a^2 x^2(a^2-x^2) dx$
Integrando ottengo il seguente risultato
(3) $I=\int_{-a}^a dI= 4/15 \pi(ab^4+a^3b^2)$
C'è qualche formula non corretta tra le tre sopra citate?
(1) $ dI = 1/4 r^2 dm + x^2 dm$ usando sempre Huygens-Steiner. Sapendo che $dm=\pi r^2 dx$ e che $y^2=b^2/a^2(a^2-x^2)$ ho riscritto come (tenendo conto anche che r è nient'altro che la coordinata y)
(2) $ dI=1/4 b^4/a^4(a^2-x^2)^2\pi dx + \pi b^2/a^2 x^2(a^2-x^2) dx$
Integrando ottengo il seguente risultato
(3) $I=\int_{-a}^a dI= 4/15 \pi(ab^4+a^3b^2)$
C'è qualche formula non corretta tra le tre sopra citate?
up
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Immagino sia un ellissoide di rotazione.
Appena posso, se proprio non è la cosa più urgente del mondo, ti rispondo.
Appena posso, se proprio non è la cosa più urgente del mondo, ti rispondo.
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