Inegrazione alla Lebesgue
Sto studiando l'integrazione alla Lebesgue, ma mi trovo molto confuso riguardo a risvolti che nn riesco a capire bene.
Tipo questo: una funzione del tipo $1/x$ è L-integrabile su tutti i reali, oppure no?
Mi è venuto il dubbio perché per $x=0$ vale $infty$, ma $x=0$ è un solo punto, perciò costituisce un insieme di misura nulla. Quindi l'integrale alla Lebesgue viene finito oppure infinito?...(oppure se viene infinito la $1/x$ si considera non L-integrabile?).
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee???
Tipo questo: una funzione del tipo $1/x$ è L-integrabile su tutti i reali, oppure no?
Mi è venuto il dubbio perché per $x=0$ vale $infty$, ma $x=0$ è un solo punto, perciò costituisce un insieme di misura nulla. Quindi l'integrale alla Lebesgue viene finito oppure infinito?...(oppure se viene infinito la $1/x$ si considera non L-integrabile?).
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee???
Risposte
La funzione $1/x$ non e' integrabile secondo Lebsegue su tutto $\RR$; infatti l'integrale della parte positiva e' $+\infty$ mentre l'integrale della parte negativa e' anch'esso $+\infty$. Ne segue, per definizione di integrale di Lebesgue, che $1/x$ non e' integrabile su $\RR$ (eventualmente estesa in $0$).
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