Induzione matematica, esercizio poco chiaro

[Il_Ted]

provare che per ogni intero positivo n la somma dei cubi dei primi n numeri pari è data da

2^3+4^3+6^3+...+(2n)^3=2n^2(n+1)^2

ragazzi in allegato c'è la soluzione, sono ore che cerco di capirlo ma non ci riesco, qualcuno di buon cuore che riesce a risolverlo? :cry

[ciampax]

Dunque, vogliamo provare la seguente proposizione

[math]P(n):\qquad 2^3+4^3+\ldots+(2n)^3=2n^2(n+1)^2,\qquad \forall\ n\ge 1[/math]

Possiamo anche riscriverla, in forma compatta, come

[math]P(n):\ \sum_{k=1}^n (2k)^3=2n^2(n+1)^2,\qquad \forall\ n\ge 1[/math]

1) base dell'induzione: proviamo che vale

[math]P(1)[/math]

: abbiamo

[math]\sum_{k=1}^1(2k)^3=(2\cdot 1)^3=2^3=8\\ 2\cdot 1^2\cdot(1+1)^2=2\cdot 1\cdot 4=8[/math]

e quindi la base d'induzione è verificata.


2) Passo induttivo: dimostriamo che valendo

[math]P(n)[/math]

vale anche

[math]P(n+1)[/math]

, cioè la proprietà

[math]\sum_{k=1}^{n+1}(2k)^3=2\cdot(n+1)^2\cdot(n+2)^2[/math]

(osserva che ad "n" devi sostituire "n+1"). Poiché la sommatoria sottintende la somma dei vari termini, la possiamo scrivere così

[math]\sum_{k=1}^n (2k)^3+[2(n+1)]^3[/math]

dove, in sostanza, ho messo tutti insieme i primi termini della somma e ho tenuto fuori solo l'ultimo termine, quello che si ottiene quando

[math]k=n+1[/math]

. Così facendo osservo che la sommatoria rimasta corrisponde al valore di

[math]P(n)[/math]

, che quindi posso sostituire con il suo valore "conciso" e scrivere

[math]\sum_{k=1}^n (2k)^3+[2(n+1)]^3=2n^2(n+1)^2+2^3(n+1)^3=[/math]

e a questo punto faccio un po' di calcoli algebrici

[math]=2(n+1)^2\left[n^2+2^2(n+1)\right]=2(n+1)^2\left[n^2+4n+4\right]=\\ 2(n+1)^2(n+2)^2[/math]

che è quanto richiesto.